İnce Mercek Denklemi

Bir mercek, ışık ışınlarını bir noktada yeniden buluşacak şekilde büker ve bir görüntü oluşturur. Görüntünün nerede oluşacağı, cismin mercekten ne kadar uzakta olduğuna ve merceğin ışığı ne kadar güçlü büktüğüne — odak uzaklığı denen bir özelliğe — bağlıdır. İnce mercek denklemi bu üç mesafeyi birbirine bağlar, yani ikisini bilmek üçüncüsünü bulmanı sağlar.

Formül

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

  • f — odak uzaklığı (m): merceğin ışığı ne kadar güçlü büktüğü — paralel ışınların nerede birleştiği
  • dₒ — cisim mesafesi (m): cismin mercekten ne kadar uzakta olduğu
  • dᵢ — görüntü mesafesi (m): görüntünün mercekten ne kadar uzakta oluştuğu

Çözümlenmiş Örnek

Yakınsak bir merceğin odak uzaklığı 10 cm'dir. Bir cisim önüne 30 cm mesafeye yerleştiriliyor. Görüntü mercekten ne kadar uzakta oluşur?

  • f = 10 cm
  • dₒ = 30 cm
  1. 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
  2. 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

Kendini test et

Aynı 10 cm odak uzaklıklı mercekte, cisim 20 cm uzağa taşınırsa, görüntü mercekten ne kadar uzakta oluşur?
  • 10 cm
  • Doğru cevap: 20 cm
  • 30 cm

Doğru! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm, yani dᵢ = 20 cm.

Orijinal örnek için (dₒ = 30 cm, dᵢ = 15 cm), büyütme oranı nedir ve bu görüntü hakkında ne söyler?
  • Doğru cevap: m = −0,5 — ters ve yarı boyutta
  • m = 0,5 — düz ve yarı boyutta
  • m = −2 — ters ve iki katı boyutta

Evet — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0,5, yani görüntü baş aşağı ve cismin yüksekliğinin yarısı kadardır.

Nerede Görürsün

Keskin bir görüntü yansıtan bir projektör, bu denklemin bir duvardaki hâlidir: çok yakın ya da çok uzak olursan görüntü bulanıklaşır, çünkü belirli bir mercek ve ekran mesafesi için odaklanan yalnızca tek bir cisim mesafesi vardır. Kendi gözün bu işi hiç durmadan yürütür — gözünün merceği, baktığın her şeyin görüntüsünü retinanda odaklı tutmak için biçim değiştirir.

Yaygın Hatalar

İlk hata, görüntü mesafesini yalnızca merceğin bir özelliği gibi görmektir — o cisimle birlikte hareket eder: 10 cm odak uzaklığında, 30 cm'deki bir cisim 15 cm'de görüntülenir ama cismi 20 cm'ye kaydırırsan görüntü de 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ gereği 20 cm'ye taşınır. İkinci hata, büyütmeyi gevşek okumaktır: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 tek sayıda iki bilgi taşır — eksi işareti görüntünün ters olduğunu, 0.5 ise yarım boyutta olduğunu söyler.

Nasıl Bağlantılı

Bir mercek, dizginlenmiş kırılmadır: her biri Snell yasasıyla ışınları büken iki eğri yüzey, tüm bükülmelerin birleşeceği şekilde biçimlendirilmiştir — ve nerede birleştiklerini bu denklem öngörür. Sırada gelen ayna denklemi ise, kırılmanın koltuğuna yansımanın oturduğu özdeş bir cebir çıkar — modülün hoş sürprizlerinden biri.

Bir simülasyon dene

İlgili Kavramlar