Kepler'in İkinci Yasası: Eşit Alanlar ve Açısal Momentum
1 · Tahmin Et
Eliptik bir yörüngedeki bir uydu, günberi noktasında (en yakın yaklaşım) yanlara doğru fırlatılır. Günöteye doğru gidip gelirken, onu merkezi kütleye bağlayan çizgi, günberi yakınındaki alanı daha hızlı mı, günöte yakınında daha hızlı mı yoksa her yerde aynı hızda mı tarıyor?
- Yarıçap çizgisi, uydunun en hızlı hareket ettiği günberi yakınındaki alanı en hızlı şekilde tarar.
- Yarıçap çizgisi, eşit zamanlarda, eşit alanları tarar; yörüngenin her yerinde aynı hızla.
- Yarıçap çizgisi, uydunun hareket için en fazla alana sahip olduğu afelion yakınındaki alanı en hızlı şekilde tarar.
2 · Kurulum
- Eşit alanlar simülasyonunu açın ve Sıfırla'ya basın. Merkezi kütle, yerçekimi parametresi GM = 40 m³/s² ile sahnenin ortasında yer alır ve gölgeli sektör takozları, uydunun yarıçap çizgisinin taradığı alanı izler.
- Uydu üzerinde spesifik açısal momentum probunu (h) ve eksantriklik probunu (e) etkinleştirin, böylece her iki değişmez de canlı olarak gösterilir.
- Aşağıdaki her deneme için, günberi yarıçapı r_p ve afelion yarıçapı r_a'yı ayarlayın, uyduyu günberi noktasından tamamen yan (teğetsel) bir hızla fırlatın, Oynat'a basın ve sabit h okumasını kaydetmeden önce en az bir tam yörüngeyi tamamlamasına izin verin.
3 · Veri Toplayın
| Günberi yarıçapı r_p (m) | Günöte yarıçapı r_a (m) | Günberi noktasında kaçış hızı v_esc (m/s) | Spesifik açısal momentum h (m²/s) |
|---|---|---|---|
| 2.50 | 5.00 | ||
| 2.00 | 6.00 | ||
| 3.00 | 4.00 |
Üç yörüngeniz için ölçülen özgül açısal momentumu h (y ekseni) günberi yarıçapına r_p (x ekseni) karşı çizin. Daha sonra, tek bir yörünge koşusunu izleyerek, uydunun hızının günberi noktasından günöte noktasına nasıl değiştiğini çizin; nerede en hızlı ve nerede en yavaş?
4 · Analiz et
- Bir yörünge için, günberi ve yine günötedeki h okumasına dikkat edin. Okuma hatası dahilinde eşleşmeleri gerekir. h = r·v kullanarak, h'yi sabit tutmak için uydunun neden r büyük olduğunda (günöte) daha yavaş, r küçük olduğunda (günberi) daha hızlı hareket etmesi gerektiğini açıklayın.
- Birim zamanda taranan alan dA/dt = h/2'dir. h sabit olduğundan eşit zamanlarda eşit alanlar süpürülür. dA/dt'yi hesaplamak için ölçülen h'nizi ilk yörünge için kullanın ve h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a))'nın sim üzerinde okuduğunuz değeri yeniden ürettiğini doğrulayın.
- Uydunun günberi hızını (v_p = h/r_p) her satır için hesapladığınız kaçış hızı v_esc ile karşılaştırın. V_p, v_esc'nin üstünde mi yoksa altında mı ve bu size yörüngenin bağlı kalıp kalmayacağı konusunda ne söylüyor?
5 · Uzat
- Halley Kuyruklu Yıldızı Güneş'in yanından aylar içinde geçiyor ancak dış güneş sisteminden geri dönmesi onlarca yıl alıyor. Eşit alanlar yasasını kullanarak, bir kuyruklu yıldızın yörüngesinin neden bu kadar az bir kısmını Güneş'in yakınında, büyük bir kısmını ise Güneş'ten uzakta geçirdiğini açıklayın.
- Özgül açısal momentum h = r·v kütle terimi taşımaz. Uydunun kütlesini iki katına çıkarsanız ancak aynı şekilde fırlatırsanız ölçülen h değişir mi? Tam açısal momentumu L = m·r·v değişir mi? Farkı açıklayın.
Bu Deneyin Arkasındaki Fizik
Kaçış Hızı
Uydunun merkezi kütleden kurtulmasını sağlayacak r yarıçapındaki minimum hız. Uydunun gerçek günberi hızı bu değerin altında kalır, dolayısıyla yörünge sınırlı kalır; eşit zamanlarda eşit alanları tarayan kapalı bir elips.
Dairesel Yörünge Hızı
r yarıçapında mükemmel bir daire oluşturan teğetsel hız. Günberi noktasında bundan daha hızlı fırlatmak (buradaki her eliptik denemede olduğu gibi), yerçekimi onu geri çekmeden önce uyduyu uzak bir günöte noktasına gönderir.