Òrbites el·líptiques: energia, velocitat d'escapament i excentricitat
1 · Prediu
Un satèl·lit es llança de costat en el radi r al voltant d'una massa central, a una velocitat per sota de la d'òrbita circular. Traça una el·lipse tancada, manté un cercle perfecte o marxa volant i no torna mai?
- S'estableix en una el·lipse tancada i allargada i torna cada òrbita.
- Manté un cercle perfecte al radi de llançament.
- Escapa de la massa central i no torna mai.
2 · Configura
- Obre la simulació d'òrbita el·líptica i prem Restableix. La massa central seu al mig de l'escenari amb paràmetre gravitatori GM = 40 m³/s².
- Activa les sondes d'energia i excentricitat al satèl·lit perquè tots dos invariants es mostrin en directe.
- Per a cada prova de sota, situa el satèl·lit al radi r sobre l'eix x, dona-li una velocitat de llançament purament lateral (tangencial) v, prem Reprodueix i deixa'l completar almenys una òrbita abans d'enregistrar les lectures estabilitzades.
3 · Recull dades
| Paràmetre gravitatori GM (m³/s²) | Radi de llançament r (m) | Velocitat de llançament tangencial v (m/s) | Velocitat d'escapament v_esc (m/s) | Energia orbital específica ε (J/kg) | Excentricitat e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Representa l'excentricitat mesurada e (eix y) contra l'energia orbital específica ε (eix x). Quan ε s'enfila cap a zero, què passa amb la forma de l'òrbita?
4 · Analitza
- Calcula l'energia orbital específica ε = v²/2 − GM/r de cada fila i confirma'n el signe. Què et diu una ε negativa sobre si el satèl·lit queda lligat a la massa central?
- Compara cada velocitat de llançament v amb la velocitat d'escapament v_esc calculada. El llançament és tangencial, per tant h = r·v; mostra que e = √(1 + 2εh²/GM²) reprodueix l'excentricitat llegida a la simulació, i explica per què un llançament més a prop de la velocitat d'escapament dóna una el·lipse més allargada.
5 · Amplia
- Per a cada radi de llançament, quina velocitat tangencial convertiria l'el·lipse en un cercle perfecte? (Pista: v_circ = √(GM/r).) La velocitat de llançament de la teva taula és per sobre o per sota d'aquell valor, i com explica això la forma de l'òrbita?
- Els cometes de període llarg tenen excentricitats a prop d'1. Què implica això sobre la seva velocitat en l'apropament màxim respecte de la velocitat d'escapament local, i per què no acaben d'escapar del Sol?
La física al darrere d'aquest experiment
Velocitat d'escapament
La velocitat tangencial mínima en el radi r que deixaria el satèl·lit escapar de la massa central. Un llançament per sota d'aquesta velocitat manté ε negativa i l'òrbita lligada: una el·lipse i no una trajectòria lliure.
Velocitat orbital circular
La velocitat tangencial que produeix un cercle perfecte en el radi r. Llançar més a poc a poc que això (com a cada prova d'aquí) fa caure el satèl·lit cap endins després del llançament, traçant una el·lipse amb el punt de llançament com apoapsi llunyà.
Mecànica
- Tir parabòlic i energia cinètica
- Bola en una rampa: energia en un pla inclinat sense fricció
- Bloc en una rampa amb fricció: trobar el llindar de fricció estàtica
- Velocitat límit: caure amb arrossegament
- Laboratori de forces: segona llei de Newton
- Forces oposades: segona llei de Newton i quantitat de moviment
- Bola que rebota: pèrdua d'energia a l'impacte
- Col·lisions elàstiques i conservació de la quantitat de moviment
- Col·lisió inelàstica i conservació de la quantitat de moviment
- Pèndol de Newton: transferència de quantitat de moviment i energia
- Pèndol simple
- Massa en un moll: moviment harmònic simple
138 fulls de treball de laboratori de física gratuïts i imprimibles