Ones estacionàries en una corda
Pessiga una corda de guitarra, bufa sobre la boca d'una ampolla o sacseja una corda de saltar al ritme just, i veuràs el mateix fenomen: dues ones que viatgen en sentits oposats pel mateix medi interfereixen i creen un patró que sembla quedar-se quiet en lloc de propagar-se. Això passa sempre que una ona es reflecteix en un extrem fix o lliure se solapa amb la seva pròpia reflexió: a la majoria de freqüències el resultat és un garbuix, però a freqüències ressonants específiques la interferència es bloqueja en un patró net i estacionari de punts que mai es mouen (nodes) i punts que oscil·len amb el màxim desplaçament (ventres). Gairebé tots els instruments musicals, de les cordes als instruments de vent i als tambors, depenen exactament d'aquest comportament per produir una tonalitat estable.
Nodes i ventres
Els nodes són punts que es queden quiets; els ventres oscil·len amb amplitud màxima. El nombre de segments depèn de la freqüència i de les condicions de contorn.
Ressonància i harmònics
A les freqüències ressonants, múltiples enters de mitja longitud d'ona caben a la corda. Cada harmònic afegeix un ventre més entre els extrems fixos.
L'equació de l'ona
La velocitat d'una ona la fixa el medi per on viatja, com la tensió d'una corda o l'aire on es mou — no com de ràpid sacseges la font. Com que la velocitat queda fixa, cada cicle que envies ha de cabre en aquella mateixa velocitat, o sigui que un moviment més ràpid empaqueta els cicles més a prop en una longitud d'ona més curta.
La fórmula
v = f · λ
- v — velocitat de l'ona (m/s): com de ràpid es mou el patró d'ona pel medi
- f — freqüència (Hz): quants cicles d'ona passen per un punt cada segon
- λ — longitud d'ona (m): la longitud d'un cicle complet d'ona
Exemple resolt
Una ona viatja per una corda completant 5 cicles cada segon. Cada cicle s'estén al llarg de 2 metres. Com de ràpid viatja l'ona?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Posa't a prova
La mateixa corda encara porta ones a 10 metres per segon. Si la sacseges a 10 hertz en lloc de 5, què li passa a la longitud d'ona?
- Es dobla a 4 m
- Es queda a 2 m
- Resposta correcta: Es divideix per dos, a 1 m
Bé! La velocitat la fixa la corda, o sigui λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m: doblar la freqüència divideix per dos la longitud d'ona.
Una ona diferent té freqüència de 4 hertz i longitud d'ona de 3 metres. Quina és la seva velocitat?
- Resposta correcta: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Sí! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
On ho veus
Tensar una corda de guitarra és aquesta equació feta audible: la corda més tensa porta ones més de pressa, o sigui que cada vibració que el músic envia torna com a to més agut. Sacsejar la corda més ràpid fa una altra cosa: l'ona encara viatja a la velocitat que la corda permet, però els cicles s'empaqueten més a prop en una longitud d'ona més curta. El medi, no el músic, fixa la velocitat.
Errors freqüents
L'error reflex és que sacsejar la font més ràpid ha de fer viatjar l'ona més de pressa: la velocitat la fixa només el medi, o sigui que un moviment més ràpid només escurça la longitud d'ona. Reordena v = f · λ a λ = v / f i el compromís queda explícit. Sacseja una corda de 10 m/s a 10 hertz en lloc de 5 i la longitud d'ona baixa de 2 metres a 1 metre, mentre la velocitat no es mou. Freqüència i longitud d'ona no són peres independentes.
Com s'connecta
Aquesta única equació és l'espina dorsal de tota la unitat d'ones: l'efecte Doppler és el que passa quan el moviment propi de la font distorsiona aquelles longituds d'ona a velocitat d'ona fixa, i els batuts són dues freqüències gairebé idèntiques alternant dins i fora de compàs. També travessa mòduls: la interferència i la difracció en òptida les governa la longitud d'ona de la llum per aquesta mateixa relació.