Ελλειπτικές τροχιές: Ενέργεια, ταχύτητα διαφυγής και εκκεντρότητα

1 · Πρόβλεψε

Δορυφόρος εκτοξεύεται πλάγια σε ακτίνα r γύρω από κεντρική μάζα, με ταχύτητα κάτω από την ταχύτητα κυκλικής τροχιάς. Χαράσσει κλειστή έλλειψη, κρατεί τέλειο κύκλο, ή πετά μακριά και δεν επιστρέφει ποτέ;

2 · Διάταξη

  1. Άνοιξε την προσομοίωση ελλειπτικής τροχιάς και πάτησε Επαναφορά. Η κεντρική μάζα κάθεται στη μέση της σκηνής με βαρυτική παράμετρο GM = 40 m³/s².
  2. Ενεργοποίησε τους αισθητήρες ενέργειας και εκκεντρότητας στον δορυφόρο ώστε και οι δύο αναλλοίωτοι να δείχνονται ζωντανοί.
  3. Για κάθε δοκιμή παρακάτω, τοποθέτησε τον δορυφόρο σε ακτίνα r στον άξονα x, δώσε του καθαρά πλάγια (εφαπτομενική) ταχύτητα εκτόξευσης v, πάτησε Αναπαραγωγή, και άσε τον να ολοκληρώσει τουλάχιστον μία τροχιά πριν καταγράψεις τις σταθεροποιημένες ενδείξεις αισθητήρων.

3 · Συλλογή Δεδομένων

Βαρυτική παράμετρος GM (m³/s²)Ακτίνα εκτόξευσης r (m)Εφαπτομενική ταχύτητα εκτόξευσης v (m/s)Ταχύτητα διαφυγής v_esc (m/s)Ειδική τροχιακή ενέργεια ε (J/kg)Εκκεντρότητα e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Χαράξε τη μετρημένη εκκεντρότητα e (άξονας y) έναντι της ειδικής τροχιακής ενέργειας ε (άξονας x). Καθώς το ε ανεβαίνει προς το μηδέν, τι θα γίνει με το σχήμα της τροχιάς;

4 · Ανάλυση

  1. Υπολόγισε την ειδική τροχιακή ενέργεια ε = v²/2 − GM/r για κάθε γραμμή και επιβεβαίωσε το πρόσημο. Τι σου λέει ένα αρνητικό ε για το αν ο δορυφόρος είναι δέσμιος της κεντρικής μάζας;
  2. Σύγκρινε κάθε ταχύτητα εκτόξευσης v με την ταχύτητα διαφυγής v_esc που υπολόγισες. Η εκτόξευση είναι εφαπτομενική, ώστε h = r·v· δείξε ότι το e = √(1 + 2εh²/GM²) αναπαράγει την εκκεντρότητα που διάβασες από την προσομοίωση, και εξήγησε γιατί εκτόξευση πιο κοντά στην ταχύτητα διαφυγής δίνει πιο επιμήκη έλλειψη.

5 · Επέκταση

  1. Για κάθε ακτίνα εκτόξευσης, ποια εφαπτομενική ταχύτητα θα μετέτρεπε την έλλειψη σε τέλειο κύκλο; (Συμβουλή: v_circ = √(GM/r).) Είναι η ταχύτητα εκτόξευσης του πίνακά σου πάνω ή κάτω από αυτή την τιμή, και πώς το εξηγεί αυτό το σχήμα της τροχιάς;
  2. Οι κομήτες μεγάλης περιόδου έχουν εκκεντρότητες κοντά στο 1. Τι συνεπάγεται αυτό για την ταχύτητά τους στη εγγύτερη προσέγγιση σε σχέση με την τοπική ταχύτητα διαφυγής — και γιατί δεν διαφεύγουν τελείως του Ηλίου;

Η Φυσική Πίσω από Αυτό το Πείραμα

Ταχύτητα διαφυγής

Η ελάχιστη εφαπτομενική ταχύτητα σε ακτίνα r που θα άφηνε τον δορυφόρο να διαφύγει της κεντρικής μάζας. Εκτόξευση κάτω από αυτή την ταχύτητα κρατά το ε αρνητικό και την τροχιά δέσμια — έλλειψη και όχι αδέσμευτη τροχιά.

Ταχύτητα κυκλικής τροχιάς

Η εφαπτομενική ταχύτητα που παράγει τέλειο κύκλο σε ακτίνα r. Εκτόξευση ταχύτερα από αυτή (όπως σε κάθε δοκιμή εδώ) ρίχνει τον δορυφόρο προς το εσωτερικό μετά την απελευθέρωση, χαράσσοντας έλλειψη με το σημείο εκτόξευσης ως μακρινό απόηλιο.

← Πίσω στο πείραμα

Μηχανική

138 δωρεάν εκτυπώσιμα φύλλα εργασίας φυσικής