المدارات الإهليلجية: الطاقة وسرعة الهروب والانحراف المركزي
1 · توقّع
يُطلق قمر صناعي جانبيًا عند نصف قطر r حول كتلة مركزية بسرعة أدنى من سرعة المدار الدائري. هل يرسم قطعًا ناقصًا مغلقًا، أم يحافظ على دائرة تامة، أم يطير ولا يعود؟
- يستقر في قطع ناقص مغلق ممدود ويعود كل مدار.
- يحافظ على دائرة تامة عند نصف قطر الإطلاق.
- يهرب من الكتلة المركزية ولا يعود أبدًا.
2 · التجهيز
- افتح محاكاة المدار الإهليلجي واضغط إعادة الضبط. تقع الكتلة المركزية في منتصف المسرح بمعامل ثقالي GM = 40 m³/s².
- فعّل مسبر الطاقة ومسبر الانحراف المركزي على القمر لتُعرض الثابتان حيين معًا.
- لكل تجربة أدناه، ضع القمر عند نصف قطر r على المحور x، وامنحه سرعة إطلاق مماسية خالصة v، واضغط تشغيل، ودعه يكمل مدارًا واحدًا على الأقل قبل تسجيل قراءات المسبر المستقرة.
3 · اجمع البيانات
| المعامل الثقالي GM (m³/s²) | نصف قطر الإطلاق r (m) | سرعة الإطلاق المماسية v (m/s) | سرعة الهروب v_esc (m/s) | الطاقة المدارية النوعية ε (J/kg) | الانحراف المركزي e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
ارسم الانحراف المركزي المقيس e (المحور y) مقابل الطاقة المدارية النوعية ε (المحور x). مع اقتراب ε من الصفر، ماذا يحدث لشكل المدار؟
4 · حلّل
- احسب الطاقة المدارية النوعية ε = v²/2 − GM/r لكل صف وأكد الإشارة. ماذا تخبرك ε السالبة عن ارتباط القمر الصناعي بالكتلة المركزية؟
- قارن كل سرعة إطلاق v بسرعة الإفلات v_esc التي حسبتها. الإطلاق مماسي، لذا h = r·v؛ بيّن أن e = √(1 + 2εh²/GM²) يعيد إنتاج الاختلاف المركزي الذي قرأته من المحاكاة، واشرح لماذا يعطي الإطلاق الأقرب إلى سرعة الإفلات قطعًا ناقصًا أطول.
5 · وسّع
- لكل نصف قطر إطلاق، ما السرعة المماسية التي تحول القطع الناقص إلى دائرة تامة؟ (تلميح: v_circ = √(GM/r).) هل سرعة إطلاق جدولك أعلى أم أدنى من تلك القيمة، وكيف يفسر ذلك شكل المدار؟
- للمذنبات طويلة الدور انحرافات مركزية قريبة من 1. بماذا يوحي ذلك عن سرعتها عند أقرب اقتراب نسبة إلى سرعة الهروب الموضعية — ولماذا لا تهرب من الشمس تمامًا؟
الفيزياء خلف هذه التجربة
سرعة الهروب
أدنى سرعة مماسية عند نصف قطر r تتيح للقمر الإفلات من الكتلة المركزية. الإطلاق دون هذه السرعة يُبقي ε سالبة والمدار مرتبطًا — قطع ناقص لا مسار هروب.
السرعة المدارية الدائرية
السرعة المماسية التي تنتج دائرة تامة عند نصف قطر r. الإطلاق أبطأ منها (كما في كل تجربة هنا) يُسقط القمر إلى الداخل بعد الإفلات، فيرسم قطعًا ناقصًا نقطة إطلاقه أبعد أوجاته.