Стоящи вълни на струна
Опъни струна на китара, духни през гърлото на бутилка или разтръси въже точно с правилната скорост и ще видиш едно и също явление: две вълни, пътуващи в противоположни посоки по една среда, интерферират и създават картина, която изглежда неподвижна, вместо да пътува. Това се случва винаги, когато вълна се отрази от фиксиран или свободен край и се застъпи с собственото си отражение — при повечето честоти резултатът е неясна смес, но при определени резонансни честоти интерференцията се заключва в чиста, неподвижна картина от точки, които никога не мърдат (възли), и точки, които люлеят между максимално отклонение (кореми). Почти всеки музикален инструмент — от струнните през духовите до мембраните на барабаните — разчита точно на това поведение, за да произвежда стабилен тон.
Възли и кореми
Възлите са точки, които стоят неподвижно; коремите осцилират с максимална амплитуда. Броят на участъците зависи от честотата и граничните условия.
Резонанс и хармоници
При резонансните честоти цяли числа половин-вълни се побират на струната. Всеки хармоник добавя още един корем между фиксираните краища.
Вълновото уравнение
Скоростта на вълна се задава от средата, през която пътува — като опънатостта на струна или въздухът, в който се движи — не от това колко бързо разтръскваш източника. Понеже скоростта остава фиксирана, всеки цикъл, който изпращаш, трябва да се побере в същата скорост, така че по-бързото триптене опакова циклите по-плътно в по-къса дължина на вълната.
Формулата
v = f · λ
- v — скорост на вълната (m/s): колко бързо се движи вълновата картина през средата
- f — честота (Hz): колко вълнови цикъла минават през точка всяка секунда
- λ — дължина на вълната (m): дължината на един пълен вълнов цикъл
Разрешен пример
Вълна пътува по струна, правейки 5 пълни цикъла всяка секунда. Всеки цикъл се разпростира на 2 метра. Колко бързо пътува вълната?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Провери се
Същата струна носи пак вълни с 10 метра в секунда. Ако я разтрисаш с 10 херца вместо 5, какво става с дължината на вълната?
- Удвоява се на 4 m
- Остава 2 m
- Верен отговор: Преполовява се на 1 m
Вярно! Скоростта е фиксирана от струната, така че λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — удвояването на честотата преполовява дължината на вълната.
Друга вълна има честота 4 херца и дължина на вълната 3 метра. Каква е скоростта ѝ?
- Верен отговор: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Да! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
Къде виждаш това
Затеглянето на китарна струна е това уравнение, направено чуемо: по-опънатата струна носи вълните по-бързо, така че всяка вибрация, която изпраща свирачът, се връща като по-висок тон. По-бързото разтръскване на струната прави друго — вълната пак пътува със скоростта, която струната позволява, но циклите се опаковат по-плътно в по-къса дължина. Средата, не музикантът, задава скоростта.
Чести грешки
Рефлексната грешка е, че по-бързото разтръскване на източника трябва да направи вълната по-бърза — скоростта е фиксирана само от средата, така че по-бързото триптене само скъсява дължината на вълната: пренареди v = f · λ до λ = v / f и размяната е явна. Разтрисай струна 10 m/s с 10 херца вместо 5 и дължината на вълната пада от 2 метра на 1 метър, докато скоростта не мърда. Честотата и дължината на вълната не са независими копчета.
Как се свързва
Това едно уравнение е гръбнакът на целия модул вълни: ефектът на Доплер е това, което става, когато собственото движение на източника изкриви тези дължини на вълните при фиксирана вълнова скорост, а биенията са две почти-еднакви честоти, разменящи се в и извън крачка. То достига и през модулите — интерференцията и дифракцията в оптиката се управляват от дължината на волната на светлината чрез същото съотношение.