Wärmekraftmaschinen & Carnot-Wirkungsgrad

Wärmekraftmaschinen & die Carnot-Grenze

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme aus einer heißen Quelle auf, wandelt einen Teil davon in nutzbare Arbeit um und leitet den Rest als Abwärme an einen kühleren Ort ab. Keine Maschine — egal wie gut gebaut — kann die gesamte Wärme in Arbeit umwandeln; etwas muss immer weggeworfen werden. Der beste mögliche Wirkungsgrad, den eine Maschine jemals erreichen könnte, hängt nur davon ab, wie heiß und wie kalt ihre beiden Reservoire sind.

Die Formel

η = 1 − T_c / T_h

η — Wirkungsgrad (—): der Anteil der Wärmeenergie, den die Maschine in nutzbare Arbeit umwandelt
T_c — Temperatur des kalten Reservoirs (K): die Temperatur des kalten Ortes, an den die Abwärme abgegeben wird
T_h — Temperatur des heißen Reservoirs (K): die Temperatur der heißen Quelle, die der Maschine Wärme zuführt

Durchgerechnetes Beispiel

Das heiße Reservoir eines Kraftwerks, Dampf, steht bei 400 Kelvin, und sein kaltes Reservoir, Flusswasser, bei 300 Kelvin. Wie groß ist der bestmögliche Wirkungsgrad für eine Maschine, die zwischen ihnen arbeitet?

T_h = 400 K
T_c = 300 K

η = 1 − T_c / T_h
η = 1 − 300 K / 400 K

η = 0.25 = 25%

Teste dich selbst

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen einem heißen Reservoir bei 800 Kelvin und einem kalten Reservoir bei 200 Kelvin. Wie groß ist ihr maximal möglicher Wirkungsgrad?

25%
Richtige Antwort: 75%
50%

Richtig! η = 1 − 200 K / 800 K = 1 − 0.25 = 75%.

Welche Änderung würde den maximal möglichen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine erhöhen?

Die Temperatur des kalten Reservoirs erhöhen
Die Temperatur des heißen Reservoirs senken
Richtige Antwort: Die Temperatur des kalten Reservoirs senken

Ja! Ein kühleres kaltes Reservoir macht T_c / T_h kleiner, also wird eins minus dieses Verhältnis — der Wirkungsgrad — größer.

Wo du das siehst

Echte Kraftwerke sind um diese Grenze herum gebaut: Dampf aus einem Kessel mit einigen Hundert Kelvin treibt Turbinen an, und die übrig gebliebene Wärme muss in einen Fluss, einen See oder in jene markanten Kühltürme entsorgt werden — das kalte Reservoir gehört genauso zum Kraftwerk wie die Feuerung. Zwischen Dampf mit 400 K und Flusswasser mit 300 K könnte keine jemals gebaute Maschine mehr als 25% erreichen.

Häufige Fehler

Der hartnäckige Mythos lautet, ein hinreichend genialer Ingenieur könne Wärme vollständig in Arbeit umwandeln — die Carnot-Grenze hängt nur von den beiden Reservoirtemperaturen ab, nicht vom Konstruktionsgeschick. Die Algebra-Falle ist, bereits beim Verhältnis stehen zu bleiben: η = 1 − T_c / T_h bedeutet, dass 800 K heiß und 200 K kalt 1 − 0.25 = 75% ergibt, nicht 25%. Und die Temperaturen sind, wie immer in der Thermodynamik, Kelvin.

Wie es sich verbindet

Hier trifft die Mechanik auf die Thermodynamik: Die Bilanz der Maschine ist Energieerhaltung — zugeführte Wärme gleich abgegebene Arbeit plus entsorgte Wärme — und deshalb ist die Voraussetzung dieser Lektion die Energieerhaltung selbst. Dass 100% unerreichbar sind, ist der zweite Hauptsatz, der sich früh zu Wort meldet: Die Abwärme ist die Steuer der Entropie, in der nächsten Lektion präzise gemacht.