Die Unschärferelation

Du kannst niemals sowohl die exakte Position als auch den exakten Impuls eines Objekts gleichzeitig kennen — je genauer du festlegst, wo etwas ist, desto ungenauer kannst du wissen, wie es sich bewegt, und umgekehrt. Das liegt nicht daran, dass unsere Instrumente ungeschickt sind; es ist eine fundamentale Grenze, die in die Natur selbst eingebaut ist, und sie wird nur für sehr kleine Teilchen wie Elektronen spürbar.

Die Formel

Δx · Δp ≥ ℏ / 2

  • Δx — Ortsunschärfe (m): wie verteilt die möglichen Positionen des Elektrons sind
  • Δp — Impulsunschärfe (kg·m/s): wie verteilt die möglichen Impulswerte des Elektrons sind
  • ℏ — reduzierte Planck-Konstante (J·s): eine winzige feste Zahl, etwa 1 × 10⁻³⁴, die die Unschärfgrenze der Natur festlegt

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Elektron ist in einer Box von 1 × 10⁻¹⁰ Metern Breite eingeschlossen — etwa die Größe eines Atoms. Wie groß ist die kleinste mögliche Unschärfe in seinem Impuls?

  • Δx = 1 × 10⁻¹⁰ m
  • ℏ = 1 × 10⁻³⁴ J·s
  1. Δp ≥ ℏ / (2 · Δx)
  2. Δp ≥ (1 × 10⁻³⁴ J·s) / (2 × 1 × 10⁻¹⁰ m)

Δp ≥ 5 × 10⁻²⁵ kg·m/s

Teste dich selbst

Dasselbe Elektron wird nun in eine kleinere Box gequetscht, nur 1 × 10⁻¹¹ Meter breit — zehnmal enger. Wie groß ist die neue minimale Impulsunschärfe?
  • 5 × 10⁻²⁶ kg·m/s
  • Richtige Antwort: 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s
  • 5 × 10⁻²³ kg·m/s

Richtig! Ein Schrumpfen von Δx um einen Faktor 10 zwingt Δp, um denselben Faktor zu wachsen: 1 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 1 × 10⁻¹¹) = 5 × 10⁻²⁴ Kilogramm-Meter pro Sekunde.

Wenn es einem Physiker gelingt, die Position eines Elektrons viel genauer festzulegen, was muss mit der Unschärfe seines Impulses passieren?
  • Sie muss abnehmen
  • Sie bleibt exakt gleich
  • Richtige Antwort: Sie muss zunehmen

Genau — Δx und Δp sind durch Δx · Δp ≥ ℏ/2 miteinander verknüpft, also zwingt ein Schrumpfen des einen das andere zu wachsen.

Wo du das siehst

Diesem Gesetz begegnest du über seine Folgen statt mit eigenen Augen: Elektronen in Atomen stürzen nie in den Kern, weil das Zusammendrängen in einen kleineren Raum die Impulsverteilung des einzelnen Elektrons nach oben zwingt — und die Farbe eines Quantenpunkts kommt genau daher: Seine Größe legt den Einschluss des Elektrons und damit seine Energie fest.

Häufige Fehler

Der tiefste Fehler ist, den Instrumenten die Schuld zu geben — Δx · Δp ≥ ℏ / 2 handelt nicht von plumpen Apparaturen, es ist eine Untergrenze, die allem Wellenartigen eingebaut ist, und Materiewellen legen alles auf diese Untergrenze. Auch die Richtung zählt: Die Position genauer festzunageln ZWINGT die Impulsverteilung nach oben — quetsche die Box zehnmal enger (auf 1 × 10⁻¹¹ m), und Δp ≥ ℏ / (2 · Δx) steigt auf 5 × 10⁻²⁴ kg·m/s, zehnmal so groß.

Wie es sich verbindet

… deshalb kommt Bohrs Atom bei einer endlichen Größe zur Ruhe, statt zusammenzubrechen.

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