Relativistische Elektronen: Wenn der klassische Impuls versagt

1 · Vorhersagen

Ein 400 keV-Elektron bewegt sich schnell genug, dass relativistische Effekte eine Rolle spielen (β ≈ 0.83). Ergibt die Verwendung der einfachen nichtrelativistischen De-Broglie-Formel λ = h/√(2mK) bei dieser Energie immer noch eine genaue Wellenlänge?

• Ja – die nichtrelativistische Formel funktioniert bei jeder Elektronenenergie immer noch gut.
• Nein – bei dieser Energie muss der Impuls des Elektrons relativistisch berechnet werden; die nichtrelativistische Formel wäre merklich falsch.
• Wellenlängenberechnungen hängen überhaupt nicht von relativistischen Effekten ab.

2 · Aufbauen

1. Öffnen Sie das Preset „Electron-Ke-Comparison“ und drücken Sie „Zurücksetzen“. Die standardmäßige kinetische Energie dieses Presets beträgt 400 keV, was β ≈ 0.83 ergibt.
2. Aktivieren Sie die De-Broglie-Wellenlängenanzeige.
3. Legen Sie die kinetische Energie des Elektrons für jeden Versuch fest (alle im relativistischen Bereich) und zeichnen Sie seine De-Broglie-Wellenlänge mithilfe der relativistischen Impulsformel auf.

3 · Daten sammeln

Tragen Sie die Wellenlänge λ (y-Achse) gegen die kinetische Energie K (x-Achse) für Ihre drei Versuche auf.

4 · Auswerten

1. Berechnen Sie für einen Versuch den relativistischen Impuls über pc = √(K(K + 2m_ec²)) (mit m_ec² ≈ 511 keV, der Ruheenergie des Elektrons), dann λ = hc/(pc) – Einheiten sorgfältig umrechnen. Vergleichen Sie mit der Tabelle.
2. Erklären Sie, warum sich die relativistische Impulsformel pc = √(K(K + 2mc²)) auf das bekannte nichtrelativistische p = √(2mK) reduziert, wenn K viel kleiner als die Ruheenergie mc² ist – und warum diese Näherung zusammenbricht, sobald K mit mc² vergleichbar oder größer wird.

5 · Vertiefen

1. Die Ruheenergie eines Elektrons m_ec² ≈ 511 keV. Bei einer kinetischen Energie von 400 keV ist die Gesamtenergie des Elektrons bereits etwa 78 % größer als seine Ruheenergie – eindeutig im relativistischen Bereich. Erklären Sie, warum Physiker die Faustregel haben, dass relativistische Korrekturen wichtig werden, sobald sich die kinetische Energie etwa 10 % der Ruheenergie nähert.
2. Teilchenbeschleuniger erreichen regelmäßig kinetische Energien, die enorm größer sind als die Ruheenergie eines Teilchens (ultrarelativistisch). Erklären Sie, warum in diesem extremen Grenzfall pc ≈ K gilt (Impulsenergie und kinetische Energie werden nahezu gleich), auch wenn dies bei alltäglichen, nichtrelativistischen Geschwindigkeiten eindeutig nicht zutrifft.

Die Physik hinter diesem Experiment

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