Relativistische Elektronen: Wenn der klassische Impuls versagt
1 · Vorhersagen
Ein 400 keV-Elektron bewegt sich schnell genug, dass relativistische Effekte eine Rolle spielen (β ≈ 0.83). Ergibt die Verwendung der einfachen nichtrelativistischen De-Broglie-Formel λ = h/√(2mK) bei dieser Energie immer noch eine genaue Wellenlänge?
- Ja – die nichtrelativistische Formel funktioniert bei jeder Elektronenenergie immer noch gut.
- Nein – bei dieser Energie muss der Impuls des Elektrons relativistisch berechnet werden; die nichtrelativistische Formel wäre merklich falsch.
- Wellenlängenberechnungen hängen überhaupt nicht von relativistischen Effekten ab.
2 · Aufbauen
- Öffnen Sie die Preset „Electron-Ke-Comparison“ und drücken Sie „Reset“. Die standardmäßige kinetische Energie dieser Preset beträgt 400 keV, was β ≈ 0.83 ergibt.
- Aktivieren Sie die De-Broglie-Wellenlängenanzeige.
- Legen Sie die kinetische Energie des Elektrons für jeden Versuch fest (alle im relativistischen Bereich) und zeichnen Sie seine De-Broglie-Wellenlänge mithilfe der relativistischen Impulsformel auf.
3 · Daten sammeln
| Kinetische Energie K (eV) | De-Broglie-Wellenlänge λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
Tragen Sie die Wellenlänge λ (y-Achse) gegen die kinetische Energie K (x-Achse) für Ihre drei Versuche auf.
4 · Auswerten
- Berechnen Sie für einen Versuch den relativistischen Impuls über pc = √(K(K + 2m_ec²)) (mit m_ec² ≈ 511 keV, der Ruheenergie des Elektrons), dann λ = hc/(pc) – Einheiten sorgfältig umrechnen. Vergleichen Sie mit der Tabelle.
- Erklären Sie, warum sich die relativistische Impulsformel pc = √(K(K + 2mc²)) auf das bekannte nichtrelativistische p = √(2mK) reduziert, wenn K viel kleiner als die Ruheenergie mc² ist – und warum diese Näherung zusammenbricht, sobald K mit mc² vergleichbar oder größer wird.
5 · Vertiefen
- Die Ruheenergie eines Elektrons m_ec² ≈ 511 keV. Bei einer kinetischen Energie von 400 keV ist die Gesamtenergie des Elektrons bereits etwa 78 % größer als seine Ruheenergie – eindeutig im relativistischen Bereich. Erklären Sie, warum Physiker die Faustregel haben, dass relativistische Korrekturen wichtig werden, sobald sich die kinetische Energie etwa 10 % der Ruheenergie nähert.
- Teilchenbeschleuniger erreichen regelmäßig kinetische Energien, die enorm größer sind als die Ruheenergie eines Teilchens (ultrarelativistisch). Erklären Sie, warum in diesem extremen Grenzfall pc ≈ K gilt (Impulsenergie und kinetische Energie werden nahezu gleich), auch wenn dies bei alltäglichen, nichtrelativistischen Geschwindigkeiten eindeutig nicht zutrifft.
Die Physik hinter diesem Experiment
Relativistische Impuls-Energie-Beziehung
Für ein relativistisches Teilchen hängen Impuls und kinetische Energie über (pc)² = K(K + 2mc²) zusammen, abgeleitet aus der vollständigen relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E² = (pc)² + (mc²)². Dies reduziert sich nur dann auf das bekannte nichtrelativistische p = √(2mK), wenn K ≪ mc².