Keplers zweites Gesetz: Flächengleichheit und Drehimpuls

1 · Vorhersagen

Ein Satellit auf einer elliptischen Umlaufbahn wird seitlich am Perihel gestartet (nächste Annäherung). Überstreicht die Linie, die es mit der Zentralmasse verbindet, beim Ausrollen zum Aphel und zurück den Bereich in der Nähe des Perihels schneller, in der Nähe des Aphels schneller oder überall mit der gleichen Geschwindigkeit?

• Die Radiuslinie überstreicht den Bereich am schnellsten in der Nähe des Perihels, wo sich der Satellit am schnellsten bewegt.
• Die Radiuslinie überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten – überall auf der Umlaufbahn mit der gleichen Geschwindigkeit.
• Die Radiuslinie überstreicht den Bereich am schnellsten in der Nähe des Aphels, wo der Satellit den größten Bewegungsspielraum hat.

2 · Aufbauen

1. Öffnen Sie die flächentreue Simulation und drücken Sie Zurücksetzen. Die zentrale Masse befindet sich in der Mitte der Bühne mit dem Gravitationsparameter GM = 40 m³/s², und die schattierten Sektorkeile zeichnen den Bereich nach, den die Radiuslinie des Satelliten überstreicht.
2. Aktivieren Sie die Sonde für den spezifischen Drehimpuls (h) und die Exzentrizitätssonde (e) auf dem Satelliten, damit beide Invarianten live angezeigt werden.
3. Stellen Sie für jeden Versuch unten den Perihelradius r_p und den Aphelradius r_a ein, starten Sie den Satelliten vom Perihel mit einer rein seitlichen (tangentialen) Geschwindigkeit, drücken Sie „Play“ und lassen Sie ihn mindestens eine vollständige Umlaufbahn absolvieren, bevor Sie den festgelegten h-Wert aufzeichnen.

3 · Daten sammeln

Tragen Sie den gemessenen spezifischen Drehimpuls h (y-Achse) gegen den Perihelradius r_p (x-Achse) für Ihre drei Umlaufbahnen auf. Beobachten Sie dann eine einzelne Umlaufbahn und skizzieren Sie, wie sich die Geschwindigkeit des Satelliten vom Perihel zum Aphel ändert – wo ist er am schnellsten und wo am langsamsten?

4 · Auswerten

1. Notieren Sie für eine Umlaufbahn den h-Wert im Perihel und erneut im Aphel. Innerhalb der Ablesegenauigkeit sollten sie übereinstimmen. Erklären Sie anhand von h = r·v, warum sich der Satellit bei großem r (Aphel) langsamer und bei kleinem r (Perihel) schneller bewegen muss, damit h konstant bleibt.
2. Die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche beträgt dA/dt = h/2. Da h konstant ist, werden gleiche Flächen in gleichen Zeiten durchsucht. Verwenden Sie Ihr gemessenes h für die erste Umlaufbahn, um dA/dt zu berechnen, und bestätigen Sie, dass h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) den Wert reproduziert, den Sie aus der Simulation abgelesen haben.
3. Vergleichen Sie die Perihelgeschwindigkeit des Satelliten (v_p = h/r_p) mit der Fluchtgeschwindigkeit v_esc, die Sie für jede Zeile berechnet haben. Liegt v_p über oder unter v_esc, und was sagt Ihnen das darüber, ob die Umlaufbahn gebunden bleibt?

5 · Vertiefen

1. Der Halleysche Komet fliegt in Monaten an der Sonne vorbei, aber es dauert Jahrzehnte, bis er aus dem äußeren Sonnensystem zurückkriecht. Erklären Sie anhand des Flächengleichheitsgesetzes, warum ein Komet so wenig Zeit seiner Umlaufbahn in der Nähe der Sonne verbringt und so viel davon weit entfernt.
2. Der spezifische Drehimpuls h = r·v trägt keinen Massenterm. Würde sich das gemessene h ändern, wenn man die Masse des Satelliten verdoppeln würde, ihn aber auf die gleiche Weise starten würde? Würde sich sein voller Drehimpuls L = m·r·v ändern? Erklären Sie den Unterschied.

Die Physik hinter diesem Experiment

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