Gravitationssturz: Wird eine heruntergefallene Sonde immer schneller?
1 · Vorhersagen
Eine Sonde wird aus der Ruhe gelöst und fällt unter umgekehrter quadratischer Schwerkraft direkt auf eine zentrale Masse zu. Wie ändert sich seine Geschwindigkeit, wenn er vom Radius 3.0 m über 2.0 m auf 1.0 m abfällt?
- Es nimmt stetig an Geschwindigkeit zu, genau wie ein Ball, der in der Nähe der Erdoberfläche abgeworfen wird.
- Es gewinnt immer schneller an Geschwindigkeit – die Anziehungskraft wird stärker, je näher es kommt.
- Bei Annäherung wird es langsamer, da die Zentralmasse schnelle Bewegungen abwehrt.
2 · Aufbauen
- Öffnen Sie die Grav-Fall-Preset. Eine einzelne Sonde ruht im Abstand r₀ = 3.5 m von der zentralen Masse in der Mitte der Leinwand.
- Stellen Sie sicher, dass sowohl die R-Sonde (Entfernung) als auch die Geschwindigkeitssonde am Sondenkörper befestigt sind, bevor Sie etwas ausführen.
- Starten Sie die Simulation und pausieren Sie sie, wenn die Sonde r = 3.0 m, dann 2.0 m, dann 1.0 m passiert, und lesen Sie die Geschwindigkeitssonde bei jedem Radius ab.
3 · Daten sammeln
| Freigaberadius r₀ (m) | Radius r (m) | Fluchtgeschwindigkeit bei r (m/s) | Fallgeschwindigkeit (m/s) |
|---|---|---|---|
| 3.50 | 3.00 | ||
| 3.50 | 2.00 | ||
| 3.50 | 1.00 |
Zeichnen Sie die Fallgeschwindigkeit (y-Achse) gegen den Radius r (x-Achse) auf. Beachten Sie, dass r mit dem Absinken der Sonde abnimmt. Lesen Sie daher die Kurve von rechts nach links.
4 · Auswerten
- Die Sonde fällt von 3.5→3.0 m und noch einmal von 1.5→1.0 m um den gleichen 0.5 m, gewinnt jedoch über das innere Intervall weitaus an Geschwindigkeit. Erklären Sie anhand Ihrer Daten, warum gleiche Distanzen hier nicht zu gleichen Geschwindigkeitszuwächsen führen (im Gegensatz zum freien Fall bei konstantem g).
- Vergleichen Sie für jede Reihe Ihre gemessene Fallgeschwindigkeit mit der Fluchtgeschwindigkeit bei demselben Radius. Die Fallgeschwindigkeit ist immer geringer – was darauf zurückzuführen ist, dass die Sonde aus dem Ruhezustand gestartet ist (ihre Gesamtenergie ist negativ, sie bleibt also gebunden).
5 · Vertiefen
- In der Nähe der Erdoberfläche verwenden wir v = √(2g·Δh) mit einem konstanten g. Erklären Sie, warum diese Formel hier versagt und welche Größe die Konstante g ersetzt, wenn sich die Sonde nach innen bewegt.
- Die idealisierte Formel v = √(2GM(1/r − 1/r₀)) expandiert ins Unendliche als r → 0. Bei der realen Simulation wird die Sonde stattdessen knapp außerhalb der Mitte fixiert. Welcher physikalische Grund (und welche Modellierungswahl) hält die Geschwindigkeit endlich?
Die Physik hinter diesem Experiment
Gravitative potenzielle Energie
Wenn die Sonde nach innen fällt, schrumpft r und diese (negative) potentielle Energie wird negativer, wodurch Energie freigesetzt wird, die als kinetische Energie wieder erscheint – weshalb die Sonde immer schneller wird, anstatt gleichmäßig zu fallen.
Fluchtgeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit, die ein Körper beim Radius r benötigen würde, um der Zentralmasse gerade noch zu entkommen. Eine aus dem Ruhezustand fallen gelassene Sonde beginnt mit negativer Gesamtenergie, daher bleibt ihre Fallgeschwindigkeit in jedem Radius unter diesem Wert – sie ist gebunden und entkommt nicht.