Keplers drittes Gesetz: Umlaufperiode vs. Radius
1 · Vorhersagen
Ein Satellit umkreist eine Zentralmasse auf einer stabilen Kreisbahn. Wie ändert sich die Zeit für eine volle Umdrehung, wenn man es auf einen größeren Umlaufradius bewegt?
- Eine größere Umlaufbahn dauert länger pro Umdrehung.
- Die Periode bleibt bei jedem Radius gleich.
- Eine größere Umlaufbahn benötigt weniger Zeit pro Umdrehung.
2 · Aufbauen
- Öffnen Sie die Preset „Grav-Kepler-Gesetz“. Ein Satellit umkreist die Zentralmasse; Der Orbit-Timer und die Periodensonde sind bereits angebracht.
- Stellen Sie den Umlaufbahnradius r des Satelliten ein und starten Sie ihn dann seitwärts mit der Kreisbahngeschwindigkeit, die auf der Formelkarte v = √(GM/r) angegeben ist, sodass die Umlaufbahn kreisförmig bleibt.
- Lassen Sie den Satelliten mindestens eine vollständige Schleife durchlaufen und lesen Sie die Umlaufzeit T vom Timer ab, sobald die Umlaufbahn stabil ist.
3 · Daten sammeln
| Umlaufbahnradius r (m) | Kreisgeschwindigkeit v (m/s) | Gemessene Periode T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Tragen Sie T² (vertikale Achse) gegen r³ (horizontale Achse) für Ihre drei Umlaufbahnen auf. Zeichnen Sie die beste Ausgleichsgerade durch den Ursprung und bestimmen Sie ihre Steigung.
4 · Auswerten
- Berechnen Sie für jede Zeile T²/r³. Sind die drei Werte ungefähr gleich? Vergleichen Sie ihren Durchschnitt mit 4π²/GM unter Verwendung von GM = 40 (also 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- Ihre T²-gegen-r³-Linie sollte durch den Ursprung verlaufen. Erklären Sie, warum diese gerade Linie durch den Ursprung genau das ist, was T² = (4π²/GM)·r³ vorhersagt, und was die Steigung darstellt.
5 · Vertiefen
- Echte Planeten gehorchen demselben Gesetz: Merkur (kleine Umlaufbahn) rast in 88 Tagen um die Sonne, während Neptun (große Umlaufbahn) 165 Jahre benötigt. Verwenden Sie T²/r³ = Konstante, um diesen großen Unterschied zu erklären.
- Die Kepler-Konstante beträgt hier 4π²/GM, sie hängt also von der Zentralmasse ab, nicht vom Satelliten. Sagen Sie voraus, was mit der Periode jedes Umlaufs passiert, wenn GM des Zentralkörpers verdoppelt würde.
Die Physik hinter diesem Experiment
Keplers drittes Gesetz
Für jede Umlaufbahn um eine gegebene Zentralmasse ist die Periode im Quadrat proportional zum mittleren kubischen Radius: T²/r³ = 4π²/GM. Das Verhältnis ist für jede Umlaufbahn gleich, daher zeigt die Zeitmessung einer Umlaufbahn mit einem bekannten Radius GM an.
Kreisbahngeschwindigkeit
Ein Körper auf einer kreisförmigen Umlaufbahn mit dem Radius r muss sich mit v = √(GM/r) bewegen: der Geschwindigkeit, die dafür sorgt, dass die Schwerkraft genau die benötigte Zentripetalkraft liefert. Beim Start mit dieser Geschwindigkeit bleibt die Umlaufbahn eher kreisförmig als elliptisch.