Η εξίσωση λεπτού φακού

Ένας φακός κάμπτει φωτεινές ακτίνες ώστε να συναντιούνται ξανά σε ένα σημείο, σχηματίζοντας εικόνα. Πού σχηματίζεται εκείνη η εικόνα εξαρτάται από το πόσο μακριά κάθεται το αντικείμενο από τον φακό και πόσο ισχυρά κάμπτει ο φακός το φως, μια ιδιότητα που λέγεται εστιακή απόσταση. Η εξίσωση λεπτού φακού δένει αυτές τις τρεις αποστάσεις, ώστε η γνώση οποιωνδήποτε δύο σου επιτρέπει να βρεις την τρίτη.

Ο τύπος

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

  • f — εστιακή απόσταση (m): πόσο ισχυρά κάμπτει ο φακός το φως — πού συγκλίνουν παράλληλες ακτίνες
  • dₒ — απόσταση αντικειμένου (m): πόσο μακριά είναι το αντικείμενο από τον φακό
  • dᵢ — απόσταση εικόνας (m): πόσο μακριά από τον φακό σχηματίζεται η εικόνα

Λυμένο παράδειγμα

Συγκεντρωτικός φακός έχει εστιακή απόσταση 10 cm. Ένα αντικείμενο τοποθετείται 30 cm μπροστά του. Πόσο μακριά από τον φακό σχηματίζεται η εικόνα;

  • f = 10 cm
  • dₒ = 30 cm
  1. 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
  2. 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

Τεστ εαυτού

Χρησιμοποιώντας τον ίδιο φακό εστιακής απόστασης 10 cm, αν το αντικείμενο μετακινηθεί στα 20 cm μακριά, πόσο μακριά από τον φακό σχηματίζεται η εικόνα;
  • 10 cm
  • Σωστή απάντηση: 20 cm
  • 30 cm

Σωστά! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm, ώστε dᵢ = 20 cm.

Για το αρχικό παράδειγμα (dₒ = 30 cm, dᵢ = 15 cm), ποια είναι η μεγέθυνση, και τι σου λέει για την εικόνα;
  • Σωστή απάντηση: m = −0.5 — ανάστροφη και μισό μέγεθος
  • m = 0.5 — όρθια και μισό μέγεθος
  • m = −2 — ανάστροφη και διπλάσιο μέγεθος

Ναι — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5, ώστε η εικόνα είναι ανάποδα και μισό το ύψος του αντικειμένου.

Πού το βλέπεις

Ένας προβολέας που πετάει μια κοφτή εικόνα είναι αυτή η εξίσωση σε τοίχο: πολύ κοντά ή πολύ μακριά και η εικόνα θολώνει, γιατί για δεδομένο φακό και απόσταση οθόνης μόνο μία απόσταση αντικειμένου εστιάζει. Το δικό σου μάτι την τρέχει αδιάκοπα — ο φακός του αλλάζει σχήμα για να κρατά την εικόνα όσων κοιτάς εστιασμένη στον αμφιβληστροειδή.

Συχνά λάθη

Το πρώτο σφάλμα είναι να αντιμετωπίζεις την απόσταση εικόνας ως ιδιότητα του φακού μόνου — κινείται με το αντικείμενο: με εστιακή απόσταση 10 cm, αντικείμενο στα 30 cm απεικονίζεται στα 15 cm, αλλά σύρε το στα 20 cm και η εικόνα μετακινείται στα 20 cm, κατά 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ. Το δεύτερο είναι χαλαρή ανάγνωση της μεγέθυνσης: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 κουβαλά δύο γεγονότα σε έναν αριθμό — το πλην λέει ότι η εικόνα είναι αντεστραμμένη και το 0.5 λέει μισό μέγεθος.

Πώς συνδέεται

Ένας φακός είναι η διάθλαση δεμένη σε χαλινάρι: δύο καμπύλες επιφάνειες καθεμία λυγίζει ακτίνες κατά τον νόμο Snell, διαμορφωμένες ώστε όλες οι κλίσεις να συγκλίνουν — και εκεί που συγκλίνουν είναι ό,τι προβλέπει αυτή η εξίσωση. Η εξίσωση του κατόπτρου, μετά, αποδεικνύεται η ταυτόσημη άλγεβρα με την ανάκλαση στη θέση της διάθλασης, μία από τις ευχάριστες εκπλήξεις του φάσματος.

Δοκίμασε τη διαδραστική προσομοίωση

Σχετικές έννοιες