Τρίτος νόμος Kepler: Τροχιακή περίοδος vs. ακτίνα

1 · Πρόβλεψε

Δορυφόρος περιφέρεται γύρω από κεντρική μάζα σε σταθερή κυκλική τροχιά. Όταν τον μεταφέρεις σε μεγαλύτερη ακτίνα τροχιάς, πώς αλλάζει ο χρόνος για μία πλήρη περιφορά;

2 · Διάταξη

  1. Άνοιξε την προεπιλογή grav-kepler-law. Δορυφόρος περιφέρεται γύρω από την κεντρική μάζα· ο χρονομετρητής τροχιάς και ο αισθητήρας περιόδου είναι ήδη συνδεδεμένοι.
  2. Ρύθμισε την ακτίνα τροχιάς r του δορυφόρου, και μετά εκτόξευσέ τον πλάγια με την ταχύτητα κυκλικής τροχιάς που δείχνει η κάρτα τύπου v = √(GM/r) ώστε η τροχιά να μείνει κυκλική.
  3. Άσε τον δορυφόρο να ολοκληρώσει τουλάχιστον μία πλήρη βρόχο και διάβασε την τροχιακή περίοδο T από τον χρονομετρητή μόλις η τροχιά σταθεροποιηθεί.

3 · Συλλογή Δεδομένων

Ακτίνα τροχιάς r (m)Ταχύτητα κύκλου v (m/s)Μετρημένη περίοδος T (s)
2.50
3.50
4.50

Χαράξε το T² (κατακόρυφος άξονας) έναντι του r³ (οριζόντιος άξονας) για τις τρεις τροχιές σου. Σχέδιασε την ευθεία καλύτερης προσαρμογής μέσω της αρχής των αξόνων και βρες την κλίση της.

4 · Ανάλυση

  1. Για κάθε γραμμή υπολόγισε το T²/r³. Είναι οι τρεις τιμές περίπου ίσες; Σύγκρινε τον μέσο όρο τους με το 4π²/GM χρησιμοποιώντας GM = 40 (ώστε 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
  2. Η γραμμή σου T²-vs-r³ πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων. Εξήγησε γιατί αυτό το ευθύγραμμο σχήμα που περνά από την αρχή των αξόνων είναι ακριβώς αυτό που προβλέπει το T² = (4π²/GM)·r³, και τι αναπαριστά η κλίση.

5 · Επέκταση

  1. Οι πραγματικοί πλανήτες υπακούουν στον ίδιο νόμο: ο Ερμής (μικρή τροχιά) σαρώνει γύρω από τον Ήλιο σε 88 ημέρες ενώ ο Ποσειδώνας (μεγάλη τροχιά) παίρνει 165 έτη. Χρησιμοποίησε το T²/r³ = σταθερά για να εξηγήσεις αυτή τη τεράστια διαφορά.
  2. Η σταθερά Kepler εδώ είναι 4π²/GM, ώστε εξαρτάται από την κεντρική μάζα, όχι από τον δορυφόρο. Πρόβλεψε τι θα γινόταν με την περίοδο κάθε τροχιάς αν το GM του κεντρικού σώματος διπλασιαζόταν.

Η Φυσική Πίσω από Αυτό το Πείραμα

Τρίτος νόμος Kepler

Για οποιαδήποτε τροχιά γύρω από δεδομένη κεντρική μάζα, η περίοδος στο τετράγωνο είναι ανάλογη του κύβου της μέσης ακτίνας: T²/r³ = 4π²/GM. Ο λόγος είναι ίδιος για κάθε τροχιά, ώστε ο χρονισμός μίας τροχιάς σε γνωστή ακτίνα αποκαλύπτει το GM.

Ταχύτητα κυκλικής τροχιάς

Σώμα σε κυκλική τροχιά ακτίνας r πρέπει να ταξιδεύει με v = √(GM/r): την ταχύτητα που κάνει τη βαρύτητα να παρέχει ακριβώς την απαιτούμενη κεντρομόλο δύναμη. Εκτόξευση σε αυτή την ταχύτητα κρατά την τροχιά κυκλική αντί για ελλειπτική.

← Πίσω στο πείραμα

Μηχανική

138 δωρεάν εκτυπώσιμα φύλλα εργασίας φυσικής