Μηχανική

Τρίτος νόμος του Κέπλερ

Μετά από μία πλήρη περιφορά, σύγκρινε το μετρημένο T²/r³ με το 4π²/GM.

Τρίτος νόμος του Κέπλερ — διαδραστική προσομοίωση Μηχανική. Μετά από μία πλήρη περιφορά, σύγκρινε το μετρημένο T²/r³ με το 4π²/GM. Δωρεάν εικονικό εργαστήριο φυσικής στον φυλλομετρητή με ζωντανές μετρήσεις σε μονάδες SI και καθοδηγούμενο μάθημα.

Τρίτος νόμος του Kepler

Για κυκλική τροχιά, το τετράγωνο της περιόδου είναι ανάλογο του κύβου της ακτίνας: T² ∝ r³.

Ο συνδυασμός κεντρομόλου δύναμης και βαρύτητας δίνει την τροχιακή περίοδο. Η σύγκριση T και r για διαφορετικές τροχιές αποκαλύπτει την ίδια αναλογία T²/r³ για δεδομένη κεντρική μάζα.

• T²/r³ = 4π²/GM
• v = 2πr/T

Σύνοψη έρευνας

Σχεδίασε την ερώτηση πριν ανοίξεις το εργαστήριο

Η σύνοψη κατοπτρίζει την προαποτυπωμένη σελίδα: η βασική ερώτηση, οι αντικρουόμενες προβλέψεις, οι ρόλοι των μεταβλητών, οι κύριοι νόμοι, η διάταξη, η ανάλυση και οι προεκτάσεις παραμένουν ορατά και με αυτή τη σειρά.

Βασική ερώτηση

Δορυφόρος περιφέρεται γύρω από κεντρική μάζα σε σταθερή κυκλική τροχιά. Όταν τον μεταφέρεις σε μεγαλύτερη ακτίνα τροχιάς, πώς αλλάζει ο χρόνος για μία πλήρη περιφορά;

Προβλέψεις προς σταθμίσει

• Μεγαλύτερη τροχιά παίρνει περισσότερο χρόνο ανά περιφορά.
• Η περίοδος μένει ίδια σε οποιαδήποτε ακτίνα.
• Μεγαλύτερη τροχιά παίρνει λιγότερο χρόνο ανά περιφορά.

Ρόλοι μεταβλητών

Τι ρυθμίζεις:

• Ακτίνα τροχιάς r (m)

Τι μετράς:

• Ταχύτητα κύκλου v (m/s)
• Μετρημένη περίοδος T (s)

Πώς εκτελείται η έρευνα

1. Άνοιξε την προεπιλογή grav-kepler-law. Δορυφόρος περιφέρεται γύρω από την κεντρική μάζα· ο χρονομετρητής τροχιάς και ο αισθητήρας περιόδου είναι ήδη συνδεδεμένοι.
2. Ρύθμισε την ακτίνα τροχιάς r του δορυφόρου, και μετά εκτόξευσέ τον πλάγια με την ταχύτητα κυκλικής τροχιάς που δείχνει η κάρτα τύπου v = √(GM/r) ώστε η τροχιά να μείνει κυκλική.
3. Άσε τον δορυφόρο να ολοκληρώσει τουλάχιστον μία πλήρη βρόχο και διάβασε την τροχιακή περίοδο T από τον χρονομετρητή μόλις η τροχιά σταθεροποιηθεί.

Κυρίαρχη εξίσωση

Τρίτος νόμος Kepler — T² / r³ = 4π² / GM

Για οποιαδήποτε τροχιά γύρω από δεδομένη κεντρική μάζα, η περίοδος στο τετράγωνο είναι ανάλογη του κύβου της μέσης ακτίνας: T²/r³ = 4π²/GM. Ο λόγος είναι ίδιος για κάθε τροχιά, ώστε ο χρονισμός μίας τροχιάς σε γνωστή ακτίνα αποκαλύπτει το GM.

Ταχύτητα κυκλικής τροχιάς — v = √(GM / r)

Σώμα σε κυκλική τροχιά ακτίνας r πρέπει να ταξιδεύει με v = √(GM/r): την ταχύτητα που κάνει τη βαρύτητα να παρέχει ακριβώς την απαιτούμενη κεντρομόλο δύναμη. Εκτόξευση σε αυτή την ταχύτητα κρατά την τροχιά κυκλική αντί για ελλειπτική.

Τι ζητά να επεξεργαστούν οι μαθητές το εκτυπώσιμο φύλλο εργασίας

• Για κάθε γραμμή υπολόγισε το T²/r³. Είναι οι τρεις τιμές περίπου ίσες; Σύγκρινε τον μέσο όρο τους με το 4π²/GM χρησιμοποιώντας GM = 40 (ώστε 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
• Η γραμμή σου T²-vs-r³ πρέπει να περνά από την αρχή των αξόνων. Εξήγησε γιατί αυτό το ευθύγραμμο σχήμα που περνά από την αρχή των αξόνων είναι ακριβώς αυτό που προβλέπει το T² = (4π²/GM)·r³, και τι αναπαριστά η κλίση.

Πού εμφανίζεται αυτό πέρα από το εργαστήριο

• Οι πραγματικοί πλανήτες υπακούουν στον ίδιο νόμο: ο Ερμής (μικρή τροχιά) σαρώνει γύρω από τον Ήλιο σε 88 ημέρες ενώ ο Ποσειδώνας (μεγάλη τροχιά) παίρνει 165 έτη. Χρησιμοποίησε το T²/r³ = σταθερά για να εξηγήσεις αυτή τη τεράστια διαφορά.
• Η σταθερά Kepler εδώ είναι 4π²/GM, ώστε εξαρτάται από την κεντρική μάζα, όχι από τον δορυφόρο. Πρόβλεψε τι θα γινόταν με την περίοδο κάθε τροχιάς αν το GM του κεντρικού σώματος διπλασιαζόταν.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Καλώς όρισες στον Νόμο του Kepler
2. Επίλεξε τον δορυφόρο
3. Πάτησε Αναπαραγωγή
4. Περίοδος και ακτίνα
5. Άνοιξε τα δεδομένα
6. Το κατάφερες!

Άνοιξε τη διαδραστική προσομοίωση για να χτίσεις τη σκηνή, πάτησε Αναπαραγωγή και εξερεύνησε με ζωντανές μετρήσεις και καθοδηγούμενο μάθημα.

Άνοιγμα Διαδραστικού Εργαστηρίου →

Λήψη φύλλου εργασίας →

Νόμοι Kepler για την πλανητική κίνηση