बर्नूली का सिद्धांत

गतिशील तरल दाब को गति से बदलता है: जहाँ भी यह तेज़ बहता है, यह बग़ल में कम ज़ोर से धकेलता है, इसलिए उसका दाब घटता है। यही कारण है कि किसी वक्र पंख के ऊपर बहती हवा या किसी संकरी पाइप से गुज़रता पानी अपने आस-पास के धीमे तरल से कम दाब पर खिंचता है।

सूत्र

P + ½ · ρ · v² = स्थिरांक

  • P — दाब (Pa): तरल प्रति इकाई क्षेत्रफल कितना धकेलने वाला बल लगाता है
  • ρ — घनत्व (kg/m³): तरल के हर घन मीटर में कितना द्रव्यमान भरा है
  • v — गति (m/s): उस बिंदु पर तरल कितनी तेज़ी से बह रहा है

हल किया गया उदाहरण

1000 किलोग्राम प्रति घन मीटर वाला पानी एक चौड़ी पाइप में 2 मीटर प्रति सेकंड की गति से बहता है, फिर एक संकरे हिस्से में तेज़ होकर 4 मीटर प्रति सेकंड हो जाता है। दाब कितना घटता है?

  • ρ = 1000 kg/m³
  • v₁ = 2 m/s
  • v₂ = 4 m/s
  1. ΔP = ½ · ρ · (v₂² − v₁²)
  2. ΔP = ½ · 1000 kg/m³ · (16 − 4) m²/s²

ΔP = 6000 Pa

स्वयं को परखें

पानी एक चौड़ी पाइप से एक संकरे हिस्से में बहता है, इसलिए उसकी गति बढ़ती है। संकरे हिस्से में उसके दाब का क्या होता है?
  • यह बढ़ता है
  • सही उत्तर: यह घटता है
  • यह वही रहता है

सही! तेज़ प्रवाह का अर्थ है कम दाब — यही बर्नूली का सिद्धांत कार्य में है।

वही पानी, अब भी 1000 किलोग्राम प्रति घन मीटर, इस बार चौड़ी पाइप में 1 मीटर प्रति सेकंड, लेकिन अब संकरे हिस्से में तेज़ होकर 3 मीटर प्रति सेकंड हो जाता है। दाब पतन क्या है?
  • सही उत्तर: 4000 Pa
  • 8000 Pa
  • 1000 Pa

बिल्कुल सही — ΔP = ½ · 1000 · (9 − 1) = ½ · 1000 · 8 = 4000 Pa।

आप इसे कहाँ देखते हैं

हवाई जहाज़ का पंख इसका सबसे क्लासिक मामला है: वक्र ऊपरी सतह के ऊपर से बहती हवा नीचे की हवा से तेज़ चलती है, इसलिए इस सिद्धांत से उसका दाब गिर जाता है, और पंख को नीचे से उससे ज़्यादा ज़ोर से ऊपर धकेला जाता है जितना ज़ोर से ऊपर से उसे नीचे दबाया जाता है। तेज़ बहाव का मतलब कम दाब — इसी जोड़ी के कारण बहते पानी के ऊपर शावर का पर्दा भीतर की ओर खिंचता है, और जब आप दो काग़ज़ की चादरों के बीच फूँक मारते हैं तो वे आपस में खिंचकर आ जाती हैं।

सामान्य गलतियाँ

सहज प्रतिक्रिया वाली ग़लती सिद्धांत को उल्टा कर देती है: चूँकि संकरे हिस्से में तरल तेज़ चल रहा है, तो ज़रूर वहाँ वह ज़्यादा ज़ोर से धकेलेगा — जबकि वास्तव में तेज़ बहाव का मतलब कम दाब है, क्योंकि वह गति दाब के बदले ख़रीदी गई थी। बीजगणित पर भी नज़र रखें: दाब की यह गिरावट वर्ग की गई गतियों के अंतर, v₂² − v₁², पर निर्भर करती है — पहले हर गति का वर्ग करें, घटाव बाद में। 2 और 4 m/s की गतियों के लिए वर्गों का अंतर 16 − 4 = 12 होता है, (4 − 2)² = 4 नहीं।

यह कैसे जुड़ता है

यह बहते हुए तरल पर लागू ऊर्जा संरक्षण है: ½ · ρ · v² वाला पद प्रति एकांक आयतन गतिज ऊर्जा है, और दाब तरल की संग्रहीत धकेलने की क्षमता है, जो एक स्ट्रीमलाइन के अनुदिश आगे-पीछे विनिमय होती रहती है जबकि इनका योग स्थिर रहता है। यह द्रव इकाई को पूरा करता है — विरामावस्था में दाब, संचरित दाब, उत्प्लावन के रूप में दाब, और आख़िर में गति के बदले विनिमय किया हुआ दाब।

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