केप्लर का तीसरा नियम: कक्षीय अवधि बनाम त्रिज्या

1 · भविष्यवाणी

एक उपग्रह एक स्थिर गोलाकार कक्षा में एक केंद्रीय द्रव्यमान का चक्कर लगाता है। जब आप इसे एक बड़ी कक्षा की त्रिज्या में ले जाते हैं, तो एक पूर्ण क्रांति का समय कैसे बदल जाता है?

• एक बड़ी कक्षा में प्रति चक्कर अधिक समय लगता है।
• अवधि किसी भी त्रिज्या पर समान रहती है।
• एक बड़ी कक्षा में प्रति चक्कर कम समय लगता है।

2 · सेट अप

1. grav-kepler-law प्रीसेट खोलें। एक उपग्रह केंद्रीय द्रव्यमान की परिक्रमा करता है; कक्षा टाइमर और अवधि जाँच पहले से ही संलग्न हैं।
2. उपग्रह की कक्षा त्रिज्या r सेट करें, फिर इसे v = √(GM/r) फॉर्मूला कार्ड पर दिखाई गई circular-orbit गति पर किनारे पर लॉन्च करें ताकि कक्षा गोलाकार रहे।
3. उपग्रह को कम से कम एक पूर्ण लूप पूरा करने दें और कक्षा स्थिर होने पर टाइमर से कक्षीय अवधि टी पढ़ें।

3 · डेटा एकत्रित करें

अपनी तीन कक्षाओं के लिए r³ (क्षैतिज अक्ष) के विरुद्ध T² (ऊर्ध्वाधर अक्ष) प्लॉट करें। मूल बिंदु से होकर best-fit सीधी रेखा खींचिए और उसका ढलान ज्ञात कीजिए।

4 · विश्लेषण करें

1. प्रत्येक पंक्ति के लिए T²/r³. की गणना करें क्या तीन मान लगभग बराबर हैं? GM = 40 का उपयोग करके उनके औसत की तुलना 4 π²/GM से करें (इसलिए 4 π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
2. आपकी T²-vs-r³ लाइन मूल बिंदु से होकर गुजरनी चाहिए। बताएं कि straight-line, through-origin का आकार बिल्कुल वही है जो T² = (4π²/GM)·r³ भविष्यवाणी करता है, और ढलान क्या दर्शाता है।

5 · विस्तार

1. वास्तविक ग्रह भी इसी नियम का पालन करते हैं: बुध (छोटी कक्षा) 88 दिनों में सूर्य के चारों ओर दौड़ता है जबकि नेपच्यून (बड़ी कक्षा) 165 वर्षों में दौड़ता है। इस विशाल अंतर को समझाने के लिए T²/r³ = स्थिरांक का उपयोग करें।
2. यहाँ केप्लर का स्थिरांक 4 π²/GM, है इसलिए यह उपग्रह पर नहीं, बल्कि केंद्रीय द्रव्यमान पर निर्भर करता है। भविष्यवाणी करें कि यदि केंद्रीय निकाय का जीएम दोगुना हो जाए तो प्रत्येक कक्षा की अवधि क्या होगी।

इस प्रयोग के पीछे का भौतिकी

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