Orbite ellittiche: energia, velocità di fuga ed eccentricità
1 · Prevedi
Un satellite è lanciato lateralmente al raggio r attorno a una massa centrale, a velocità inferiore a quella dell'orbita circolare. Traccia un'ellisse chiusa, mantiene un cerchio perfetto o vola via senza più tornare?
- Si assesta su un'ellisse chiusa e allungata e torna a ogni orbita.
- Mantiene un cerchio perfetto al raggio di lancio.
- Sfugge alla massa centrale e non torna più.
2 · Configurazione
- Apri la simulazione dell'orbita ellittica e premi Reset. La massa centrale siede al centro della scena con parametro gravitazionale GM = 40 m³/s².
- Attiva le sonde energia ed eccentricità sul satellite perché entrambi gli invarianti siano mostrati dal vivo.
- Per ogni prova qui sotto, piazza il satellite al raggio r sull'asse x, dai una velocità di lancio puramente tangenziale v, premi Play e lascialo completare almeno un'orbita prima di registrare le letture assestate.
3 · Raccogli dati
| Parametro gravitazionale GM (m³/s²) | Raggio di lancio r (m) | Velocità tangenziale di lancio v (m/s) | Velocità di fuga v_esc (m/s) | Energia orbitale specifica ε (J/kg) | Eccentricità e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Traccia l'eccentricità misurata e (asse y) contro l'energia orbitale specifica ε (asse x). Quando ε sale verso zero, cosa succede alla forma dell'orbita?
4 · Analizza
- Calcola l'energia orbitale specifica ε = v²/2 − GM/r per ogni riga e conferma il segno. Cosa ti dice un ε negativo sul fatto che il satellite sia legato alla massa centrale?
- Confronta ogni velocità di lancio v con la velocità di fuga v_esc che hai calcolato. Il lancio è tangenziale, quindi h = r·v; mostra che e = √(1 + 2εh²/GM²) riproduce l'eccentricità letta dalla simulazione, e spiega perché un lancio più vicino alla velocità di fuga dà un'ellisse più allungata.
5 · Estendi
- Per ogni raggio di lancio, quale velocità tangenziale trasformerebbe l'ellisse in un cerchio perfetto? (Suggerimento: v_circ = √(GM/r).) La velocità di lancio della tua tabella è sopra o sotto quel valore, e come lo spiega la forma dell'orbita?
- Le comete a lungo periodo hanno eccentricità vicine a 1. Cosa implica per la loro velocità al massimo avvicinamento rispetto alla velocità di fuga locale — e perché non sfuggono del tutto al Sole?
La fisica dietro questo esperimento
Velocità di fuga
La minima velocità tangenziale al raggio r che permetterebbe al satellite di sfuggire alla massa centrale. Un lancio sotto questa velocità mantiene ε negativa e l'orbita vincolata: un'ellisse, non una traiettoria di fuga.
Velocità orbitale circolare
La velocità tangenziale che produce un cerchio perfetto al raggio r. Lanciare più lentamente (come in ogni prova qui) fa ricadere il satellite verso l'interno dopo il rilascio, tracciando un'ellisse con il punto di lancio come apocentro.