放射性崩壊と半減期
不安定な原子核は1つずつランダムに崩壊し、個々の核がいつ崩壊するかを予測する方法はない。しかし大きな試料では、パターンは完全に予測可能で、1半減期後にもとの半分が残り、その後の1半減期ごとに残った半分が崩壊する。
公式
N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N — 残存量 (g): 時刻 t でまだ残っている物質の量
- N₀ — 初期量 (g): t = 0 の最初に存在していた量
- t — 経過時間 (s): 開始から経過した時間
- t½ — 半減期 (s): 試料の半分が崩壊するのにかかる時間
例題
80 g の放射性同位体の試料が、5 日の半減期を持つ。10 日後にどれだけ残りますか？
- N₀ = 80 g
- t½ = 5 日
- N = N₀ · (½)^(t/t½)
- N = 80 g · (½)^(10/5) = 80 g · (½)²
N = 20 g
自分でチェック
同じ 80 g の試料が崩壊し続ける。15 日後にどれだけ残りますか？
- 40 g
- 正解: 10 g
- 26.7 g
正解！ 3半減期：80 g → 40 g → 20 g → 10 g。
3半減期が経過したとき、もとの試料の何割がまだ残っていますか？
- 正解: 1/8
- 1/3
- 1/6
正解！ 2分の1 かける 2分の1 かける 2分の1 は 8分の1 です。
どこで見られるか
考古学者は炭素14を使って古代の木材や骨の年代を測ります。半減期 5,730 年の炭素14は、死後に濃度が着実に下がっていくため、残っている量を測れば暦が読めるのです。病院でも同じ崩壊の法則を、体内を輝きながら進み1日以内に消えていく短寿命のトレーサーとともに使っています。
よくある誤解
計算上の誤りは、各半減期を一定量の引き算として扱うことです。実際には2分の1を掛けるので、3回の半減期の後には8分の1（½ × ½ × ½）が残るだけで、ゼロになることも1.5個分消えることも決してありません。80 g の試料は 80 → 40 → 20 → 10 g と推移します。概念上の誤りは、1個1個の原子核がこの法則に従うと期待することです。どの原子核もランダムで知りようのない瞬間に崩壊し、予測可能になるのは大量の試料だけなのです。
つながり
崩壊とは、原子核で行う確率の話です。熱力学のエントロピーと同じ、大数の法則のロジックですね。そしてそれは次のレッスンに問いを手渡します。なぜある原子核は不安定で、ある原子核はそうではないのか? その答えである結合エネルギーは、相対論の c² を呼び戻してきて、その差に値段を付けるのです。