相対論的電子：古典的運動量が通用しないとき

1 · 予測

400 keV の電子は相対論的効果が重要になるほど速い（β ≈ 0.83）。単純な非相対論的ド・ブロイ式 λ = h/√(2mK) は、このエネルギーでなお正確な波長を与えるか？

• はい — 非相対論的な式はどの電子エネルギーでも十分に機能する。
• いいえ — このエネルギーでは電子の運動量を相対論的に計算する必要があり、非相対論的な式は明らかに誤る。
• 波長計算は相対論的効果にまったく依存しない。

2 · 準備

1. electron-ke-comparison プリセットを開き、「リセット」を押す。既定の運動エネルギーは 400 keV で、β ≈ 0.83 となる。
2. ド・ブロイ波長の表示を有効にする。
3. 各試行の電子の運動エネルギー（すべて相対論的領域）を設定し、相対論的運動量の式を使ってド・ブロイ波長を記録する。

3 · データ収集

3回の試行について、波長 λ（縦軸）を運動エネルギー K（横軸）に対してプロットする。

4 · 分析

1. 1回の試行について、pc = √(K(K + 2m_ec²))（m_ec² ≈ 511 keV、電子の静止エネルギー）から相対論的運動量を計算し、次に λ = hc/(pc) を計算する。単位を慎重に変換し、表と比較する。
2. 相対論的運動量の式 pc = √(K(K + 2mc²)) が、K が静止エネルギー mc² よりはるかに小さいとき、なじみ深い非相対論的な p = √(2mK) に近づく理由を説明する。また、K が mc² と同程度以上になると、その近似が破綻する理由を説明する。

5 · 発展

1. 電子の静止エネルギーは m_ec² ≈ 511 keV である。運動エネルギーが 400 keV のとき、電子の全エネルギーはすでに静止エネルギーよりも約 78% 大きく、明らかに相対論的領域である。運動エネルギーが静止エネルギーのおよそ 10% に近づくと相対論的補正が重要になる、という経験則を物理学者がもつ理由を説明する。
2. 粒子加速器は、粒子の静止エネルギーをはるかに超える運動エネルギー（超相対論的領域）に日常的に到達する。この極限で pc ≈ K（運動量エネルギーと運動エネルギーがほぼ等しくなる）理由を説明する。ただし日常的な非相対論的速度では明らかに成り立たない。

この実験の物理

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