楕円軌道：エネルギー、脱出速度、離心率
1 · 予測
衛星を中心質量から半径 r の位置で横向きに発射し、円軌道速度より遅くする。閉じた楕円を描くか、完全な円を保つか、それとも飛び去って二度と戻らないか？
- 閉じた細長い楕円に落ち着き、各軌道で戻ってくる。
- 発射半径で完全な円を保つ。
- 中心質量から脱出し、二度と戻らない。
2 · 準備
- 楕円軌道シミュレーションを開き、「リセット」を押す。中心質量はステージ中央にあり、重力パラメータは GM = 40 m³/s² である。
- 衛星のエネルギープローブと離心率プローブを有効にし、両方の不変量をライブ表示する。
- 各試行について、x 軸上の半径 r に衛星を置き、完全に横向き（接線方向）の発射速度 v を与え、「再生」を押す。少なくとも1周してから、落ち着いたプローブ表示を記録する。
3 · データ収集
| 重力パラメータ GM (m³/s²) | 発射半径 r (m) | 接線方向の発射速度 v (m/s) | 脱出速度 v_esc (m/s) | 比軌道エネルギー ε (J/kg) | 離心率 e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
測定した離心率 e（縦軸）を比軌道エネルギー ε（横軸）に対してプロットする。ε がゼロへ近づくと、軌道の形はどうなるか？
4 · 分析
- 各行について比軌道エネルギー ε = v²/2 − GM/r を計算し、符号を確認する。ε が負であることは、衛星が中心質量に束縛されているかについて何を示すか？
- 各発射速度 v を計算した脱出速度 v_esc と比較する。発射は接線方向なので h = r·v である。e = √(1 + 2εh²/GM²) がシミュレーションで読んだ離心率を再現することを示し、脱出速度に近い発射ほど細長い楕円になる理由を説明する。
5 · 発展
- 各発射半径で、楕円を完全な円にする接線方向速度は何か？（ヒント：v_circ = √(GM/r)。）表の発射速度はこの値より上か下か？それが軌道の形をどう説明するか？
- 長周期彗星の離心率は 1 に近い。これは近日点での速度が局所的な脱出速度に対してどうであることを意味するか？それでも太陽から脱出しない理由は何か？
この実験の物理
脱出速度
半径 r で衛星が中心質量から脱出できる最小の接線方向速度。この速度より遅い発射では ε が負になり、軌道は束縛された楕円となる。
円軌道の速度
半径 r で完全な円を作る接線方向速度。ここでのすべての試行のようにこれより遅く発射すると、衛星は発射後に内側へ落ち、発射点を遠地点とする楕円を描く。