ケプラーの第二法則：面積速度と角運動量

1 · 予測

楕円軌道上の衛星を近日点（最接近点）で横向きに発射する。遠日点へ進んで戻る間、中心質量と衛星を結ぶ線が掃く面積は、近日点付近で速いか、遠日点付近で速いか、それとも全体で同じ割合か？

• 衛星が最も速く動く近日点付近で、半径線は最も速く面積を掃く。
• 半径線は等しい時間に等しい面積を掃く — 軌道上のどこでも同じ割合である。
• 衛星が最も移動できる遠日点付近で、半径線は最も速く面積を掃く。

2 · 準備

1. equal-areas シミュレーションを開き、「リセット」を押す。中心質量はステージ中央にあり、重力パラメータは GM = 40 m³/s²。陰影付きの扇形は衛星の半径線が掃く面積を示す。
2. 衛星の比角運動量プローブ（h）と離心率プローブ（e）を有効にし、両方の不変量をライブ表示する。
3. 各試行について近日点半径 r_p と遠日点半径 r_a を設定し、衛星を近日点から完全に横向き（接線方向）の速度で発射する。「再生」を押し、少なくとも1周してから落ち着いた h の表示を記録する。

3 · データ収集

測定した比角運動量 h（縦軸）を近日点半径 r_p（横軸）に対して3つの軌道でプロットする。次に一つの軌道を動かし、近日点から遠日点まで衛星の速さがどう変わるかをスケッチする。最も速い場所と最も遅い場所はどこか？

4 · 分析

1. 一つの軌道で、近日点と遠日点で h の表示を記録する。読み取り誤差の範囲で一致するはずである。h = r·v を使い、h を一定に保つため r が大きい遠日点では遅く、r が小さい近日点では速く動かなければならない理由を説明する。
2. 単位時間当たりに掃く面積は dA/dt = h/2 である。h は一定なので、等しい時間に等しい面積を掃く。最初の軌道で測定した h を用いて dA/dt を計算し、h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) がシミュレーションの値を再現することを確認する。
3. 衛星の近日点速度（v_p = h/r_p）を各行で計算した脱出速度 v_esc と比較する。v_p は v_esc より上か下か？それは軌道が束縛されたままかどうかについて何を示すか？

5 · 発展

1. ハレー彗星は数か月で太陽のそばを通過するが、外側の太陽系から戻るまで数十年かかる。面積速度の法則を使い、彗星が太陽の近くで軌道のごく一部しか過ごさず、遠くで多くを過ごす理由を説明する。
2. 比角運動量 h = r·v には質量の項がない。衛星の質量を2倍にして同じように発射すると、測定した h は変わるか？全角運動量 L = m·r·v は変わるか？違いを説明する。

この実験の物理

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