상대론적 전자: 고전적 운동량이 실패할 때

1 · 예측

400 keV 전자는 상대론적 효과가 중요해질 만큼 빠르게 움직입니다(β ≈ 0.83). 이 에너지에서도 단순한 비상대론적 드브로이 공식 λ = h/√(2mK)가 여전히 정확한 파장을 줍니까?

• 예 — 비상대론적 공식은 전자의 어떤 에너지에서도 여전히 잘 작동합니다.
• 아니오 — 이 에너지에서는 전자의 운동량을 반드시 상대론적으로 계산해야 하며, 비상대론적 공식은 눈에 띄게 틀릴 것입니다.
• 파장 계산은 상대론적 효과에 전혀 의존하지 않습니다.

2 · 설정

1. electron-ke-comparison 사전 설정을 열고 재설정을 누릅니다. 이 사전 설정의 기본 운동 에너지는 400keV이며 β ≒ 0.83입니다.
2. 드브로이 파장 판독을 활성화합니다.
3. 각 실험에 대해 전자의 운동 에너지를 설정하고(모두 상대론적 체제에서) 상대론적 운동량 공식을 사용하여 드브로이 파장을 기록합니다.

3 · 데이터 수집

세 번의 시행에 대해 파장 λ(y축)를 운동 에너지 K(x축)에 대해 그래프로 그리세요.

4 · 분석

1. 한 번의 시행에서는 pc = √(K(K + 2m_ec²))(m_ec² ≒ 511 keV, 전자의 정지 에너지)를 통해 상대론적 운동량을 계산한 다음 λ = hc/(pc)를 사용하여 단위를 주의 깊게 변환합니다. 표와 비교해 보세요.
2. K가 정지 에너지 mc²보다 훨씬 작을 때 상대론적 운동량 공식 pc = √(K(K + 2mc²))가 친숙한 비상대론적 p = √(2mK)로 줄어드는 이유와, K가 mc²와 비슷하거나 그보다 커지면 그 근사가 왜 성립하지 않게 되는지 설명하세요.

5 · 확장

1. 전자의 정지 에너지 m_ec² ≒ 511 keV. 400keV의 운동 에너지에서 전자의 총 에너지는 이미 정지 에너지보다 약 78% 더 큽니다 — 확실히 상대론적 영역입니다. 물리학자들이 운동 에너지가 정지 에너지의 약 10%에 가까워지면 상대론적 수정이 중요해진다는 경험 법칙을 가지고 있는 이유를 설명하십시오.
2. 입자가속기는 흔히 입자의 정지 에너지보다 훨씬 큰 운동 에너지(초상대론적)에 도달합니다. 그 극한 상황에서, 평상시의 비상대론적 속도에서는 분명히 성립하지 않음에도 불구하고 pc ≈ K(운동량-에너지와 운동 에너지가 거의 같아짐)가 되는 이유를 설명하세요.

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