De wetten van Kepler voor planeetbeweging
Planeten bewegen niet in perfecte cirkels — ze beschrijven ellipsen (uitgerekte cirkels) met de zon in één brandpunt, niet in het midden. Wanneer een planeet dichter bij de zon komt, gaat hij sneller, en wanneer hij verder weg drijft, vertraagt hij, waarbij hij in gelijke tijden gelijke oppervlakten bestrijkt. Hoe verder de baan van een planeet buiten ligt, hoe langer zijn jaar duurt, omdat periode kwadraat groeit met de grootte van de baan tot de derde macht.
De formule
T² = k · a³
- T — periode (yr): de tijd die de planeet nodig heeft voor één volledige baan
- a — grote halve as (AU): de gemiddelde afstand van de planeet tot de zon
- k — proportionaliteitsconstante (yr²/AU³): is gelijk aan 1 voor alles wat in deze eenheden om onze zon draait
Uitgewerkt voorbeeld
Een planeet draait om de zon met een halve lange as van 4 astronomische eenheden. Hoeveel jaar doet hij over één volledige baan?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 jaar
Test jezelf
Een andere planeet draait op een halve lange as van 9 astronomische eenheden. Wat is zijn omlooptijd?
- 9 jaar
- 81 jaar
- Juiste antwoord: 27 jaar
Correct! T² = a³ = 9³ = 729, en de vierkantswortel van 729 is 27 jaar.
Waar langs zijn elliptische baan beweegt een planeet het snelst?
- Juiste antwoord: Het dichtst bij de zon
- Het verst van de zon
- De snelheid verandert nooit
Goed! Gelijke oppervlakten in gelijke tijden betekent dat de planeet moet versnellen wanneer hij het dichtst bij de zon is.
Waar je dit ziet
Elke planeet in het zonnestelsel, elke maan rond een planeet, en elke satelliet rond de Aarde volgt een ellips onder deze drie wetten — ze werden ontdekt uit blote-oog waarnemingen van Mars decennia voordat Newton verklaarde waarom zwaartekracht precies dit gedrag produceert. Kometen op zeer uitgerekte ellipsen tonen de tweede wet het dramatischste, flitsend rond de Zon bij dichte aanvaarding en kruipend bij hun verste punt.
Veelgemaakte fouten
Het is gemakkelijk om planetaire banen als cirkels met de Zon in het middelpunt voor te stellen — echte banen zijn ellipsen met de Zon op een focus, niet in het midden, daarom verandert een planeet werkelijk van afstand tot de Zon over zijn jaar. Studenten nemen ook soms aan dat een planeet met constant snelheid beweegt — de tweede wet zegt het tegenovergestelde: een planeet versnelt dicht bij de Zon en vertraagt ver weg, gelijke gebieden in gelijke tijden veegende op beide manieren.
Hoe het verband houdt
Kepler ontdekte deze drie patronen door Mars's waargenomen posities aan de gegevens aan te passen, decennia voordat Newton toonde dat ze allemaal uit één krachtswet voortkomen: universele zwaartekracht gecombineerd met middelpuntzoekende beweging. Samen, zwaartekracht en Keplers wetten sluiten de mechanica-sequentie die met vrije val begon af — dezelfde handvol ideeën (kracht, versnelling, energie, momentum) die een gevallen bal beschreef beschrijft ook een heel zonnestelsel.