Fale stojące na strunie
Szarpnij strunę gitary, dmuchnij w otwór butelki albo potrząśnij skakanką z odpowiednią prędkością, a zobaczysz to samo zjawisko: dwie fale poruszające się w przeciwnych kierunkach w tym samym ośrodku interferują ze sobą, tworząc wzór, który wygląda, jakby stał w miejscu, zamiast się przemieszczać. Dzieje się tak zawsze, gdy fala odbija się od zamocowanego lub swobodnego końca i nakłada się na swoje własne odbicie — przy większości częstotliwości efektem jest chaotyczna mieszanina, ale przy konkretnych częstotliwościach rezonansowych interferencja „zatrzaskuje się” w czysty, nieruchomy wzór punktów, które nigdy się nie poruszają (węzły), oraz punktów, które oscylują między maksymalnymi wychyleniami (strzałki). Niemal każdy instrument muzyczny — od strunowych, przez dęte, po membrany bębnów — polega właśnie na tym zjawisku, by wytworzyć stabilną wysokość dźwięku.
Węzły i strzałki
Węzły to punkty nieruchome; strzałki drgają z maksymalną amplitudą. Liczba segmentów zależy od częstotliwości (długości fali) i warunków brzegowych.
Rezonans i harmoniczne
Przy częstotliwościach rezonansowych na strunie mieści się całkowita liczba półfal. Każda harmoniczna dodaje kolejną strzałkę.
Równanie falowe
Prędkość fali wyznacza ośrodek, w którym biegnie — jak naciąg struny albo powietrze — a nie to, jak szybko trzęsiesz źródłem. Ponieważ prędkość pozostaje stała, każdy wysłany cykl musi zmieścić się w tej samej prędkości, więc szybsze trzęsienie pakuje cykle ciaśniej w krótszą długość fali.
Wzór
v = f · λ
- v — prędkość fali (m/s): jak szybko wzorzec fali przesuwa się przez ośrodek
- f — częstotliwość (Hz): ile cykli fali przechodzi przez punkt każdej sekundy
- λ — długość fali (m): długość jednego pełnego cyklu fali
Przykład rozwiązany
Fala biegnie wzdłuż struny, wykonując 5 pełnych cykli każdej sekundy. Każdy cykl rozciąga się na 2 metry. Jak szybko biegnie fala?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Sprawdź się
Ta sama struna wciąż niesie fale z 10 metrów na sekundę. Jeśli potrząśniesz nią z 10 hercami zamiast 5, co stanie się z długością fali?
- Podwaja się do 4 m
- Zostaje 2 m
- Poprawna odpowiedź: Zostaje przepołowiona do 1 m
Zgadza się! Prędkość jest ustalona przez strunę, więc λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — podwojenie częstotliwości zmniejsza długość fali o połowę.
Inna fala ma częstotliwość 4 herce i długość fali 3 metry. Jaka jest jej prędkość?
- Poprawna odpowiedź: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Tak! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
Gdzie to widzisz
Naciągnięcie struny gitary to to równanie przemienione w dźwięk: mocniej napięta struna niesie fale szybciej, więc każde drganie wysłane przez gracza wraca jako wyższy ton. Szybsze potrząsanie struną robi coś innego — fala wciąż biegnie z prędkością, na jaką pozwala struna, ale cykle pakują się ciaśniej w krótszą długość fali. To ośrodek, nie muzyk, ustala prędkość.
Częste błędy
Odruchowy błąd to przekonanie, że szybsze potrząsanie źródłem musi sprawić, iż fala będzie biegać szybciej — prędkość jest ustalona wyłącznie przez ośrodek, więc szybsze wymachiwanie tylko skraca długość fali: przekształć v = f · λ w λ = v / f i ta zależność staje się oczywista. Potrząśnij struną przenoszącą fale z 10 m/s z częstotliwością 10 herców zamiast 5, a długość fali spada z 2 metrów do 1 metra, podczas gdy prędkość pozostaje bez zmian. Częstotliwość i długość fali to nie są niezależne pokrętła.
Jak się to łączy
To jedno równanie jest kręgosłupem całego działu o falach: efekt Dopplera to to, co się dzieje, gdy ruch samego źródła zniekształca te długości fal przy stałej prędkości fali, a dudnienia to dwie niemal identyczne częstotliwości, które na zmianę wchodzą w rytm i z niego wypadają. Sięga też innych modułów — interferencja i dyfrakcja w optyce rządzą się długością fali światła przez tę samą zależność.