Elektrony relatywistyczne: kiedy klasyczny pęd zawodzi
1 · Prognoza
Elektron o 400 keV porusza się na tyle szybko, że efekty relatywistyczne mają znaczenie (β ≈ 0.83). Czy prosta nierelatywistyczna fala de Broglie'a λ = h/√(2mK) daje jeszcze dokładną długość fali przy tej energii?
- Tak — wzór nierelatywistyczny nadal działa dobrze przy dowolnej energii elektronu.
- Nie — przy tej energii pęd elektronu trzeba liczyć relatywistycznie; nierelatywistyczny wzór byłby wyraźnie błędny.
- Obliczenia długości fali w ogóle nie zależą od efektów relatywistycznych.
2 · Przygotowanie
- Otwórz preset electron-ke-comparison i naciśnij Reset. Domyślna energia kinetyczna tego preseta to 400 keV, dająca β ≈ 0.83.
- Włącz odczyt długości fali de Broglie'a.
- Ustaw energię kinetyczną elektronu dla każdej próby (wszystkie w reżimie relatywistycznym) i zapisz jego falę de Broglie'a relatywistycznym wzorem pędu.
3 · Zbieranie danych
| Energia kinetyczna K (eV) | Długość fali de Broglie'a λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
Narysuj długość fali λ (oś y) względem energii kinetycznej K (oś x) dla trzech prób.
4 · Analiza
- Dla jednej próby oblicz relatywistyczny pęd ze wzoru pc = √(K(K + 2m_ec²)) (przy m_ec² ≈ 511 keV — energii spoczynkowej elektronu), a potem λ = hc/(pc) — starannie przeliczając jednostki. Porównaj z tabelą.
- Wyjaśnij, dlaczego relatywistyczny wzór na pęd pc = √(K(K + 2mc²)) przechodzi w znajomą nierelatywistyczną postać p = √(2mK), gdy K jest znacznie mniejsze od energii spoczynkowej mc² — i dlaczego to przybliżenie się załamuje, gdy K staje się porównywalne z mc² lub większe.
5 · Rozszerzenie
- Energia spoczynkowa elektronu m_ec² ≈ 511 keV. Przy energii kinetycznej 400 keV energia całkowita elektronu jest już o około 78% większa od spoczynkowej — pewnie w reżimie relatywistycznym. Wyjaśnij, dlaczego fizycy mają regułę kciuka, że poprawki relatywistyczne stają się istotne, gdy energia kinetyczna zbliża się do z grubsza 10% energii spoczynkowej.
- Akceleratory cząstek rutynowo osiągają energie kinetyczne ogromnie większe od energii spoczynkowej cząstki (ultrarelatywistyczne). Wyjaśnij, dlaczego w tej skrajnej granicy pc ≈ K (energia-pęd i energia kinetyczna stają się niemal równe), choć w codziennych, nierelatywistycznych prędkościach to ewidentnie nieprawda.
Fizyka tego eksperymentu
Relatywistyczna relacja pęd–energia
Dla cząstki relatywistycznej pęd i energia kinetyczna wiążą się przez (pc)² = K(K + 2mc²), wyprowadzone z pełnej relatywistycznej relacji energia–pęd E² = (pc)² + (mc²)². Do znajomej nierelatywistycznej p = √(2mK) redukuje się tylko przy K ≪ mc².