Drugie prawo Keplera: równe pola i moment pędu

1 · Prognoza

Satelita na orbicie eliptycznej wystrzelony bokiem w peryhelium (najbliższe zbliżenie). Gdy płynie ku afelium i z powrotem, czy prosta łącząca go z centralną masą wymiatuje pole szybciej przy peryhelium, szybciej przy afelium, czy w tym samym tempie wszędzie?

• Promień wodzący wymiatuje pole najszybciej przy peryhelium, gdzie satelita porusza się najszybciej.
• Promień wodzący wymiatuje równe pola w równych czasach — to samo tempo wszędzie na orbicie.
• Promień wodzący wymiatuje pole najszybciej przy afelium, gdzie satelita ma najwięcej miejsca na ruch.

2 · Przygotowanie

1. Otwórz symulację równych pól i naciśnij Reset. Masa centralna siedzi w środku sceny z parametrem grawitacyjnym GM = 40 m³/s², a zacienione kliny sektorowe śledzą pole zamiatane przez promień satelity.
2. Włącz sondę momentu pędu właściwego (h) i sondę mimośrodu (e) na satelicie, aby obie wielkości niezmiennicze były pokazane na żywo.
3. Dla każdej próby poniżej ustaw promień peryhelium r_p i promień afelium r_a, wystrzel satelitę z peryhelium z czysto boczną (styczną) prędkością, naciśnij Play i pozwól mu wykonać co najmniej jedną pełną orbitę przed zapisaniem ustabilizowanego odczytu h.

3 · Zbieranie danych

Narysuj zmierzony moment pędu właściwy h (oś y) względem promienia peryhelium r_p (oś x) dla trzech orbit. Potem, obserwując jedną orbitę, naszkicuj, jak zmienia się prędkość satelity od peryhelium do afelium — gdzie jest największa, a gdzie najmniejsza?

4 · Analiza

1. Dla jednej orbity zapisz odczyt h w peryhelium i ponownie w aphelium. W granicach błędu odczytu powinny się zgadzać. Używając h = r·v, wyjaśnij, dlaczego satelita musi poruszać się wolniej przy dużym r (aphelium), a szybciej przy małym r (peryhelium), by h pozostało stałe.
2. Pole zamiataane na jednostkę czasu to dA/dt = h/2. Skoro h jest stałe, równe pola zamiatane są w równych czasach. Użyj zmierzonego h pierwszej orbity, by obliczyć dA/dt, i potwierdź, że h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) odtwarza wartość odczytaną z symulacji.
3. Porównaj prędkość satelity w peryhelium (v_p = h/r_p) z obliczoną dla każdego wiersza prędkością ucieczki v_esc. Czy v_p jest powyżej czy poniżej v_esc i co to mówi o tym, czy orbita pozostaje związana?

5 · Rozszerzenie

1. Kometa Halleya przelatuje obok Słońca w miesiące, ale wraca z zewnętrznego układu słonecznego dekadami. Prawem pól wyjaśnij, dlaczego kometa spędza tak mało orbity przy Słońcu, a tak dużo w oddali.
2. Właściwy moment pędu h = r·v nie zawiera masy. Gdybyś podwoił masę satelity, startując identycznie, zmierzone h zmieniłoby się? Czy zmieniłby się pełny moment pędu L = m·r·v? Wyjaśnij różnicę.

Fizyka tego eksperymentu

← Wróć do eksperymentu