Elétrons relativísticos: quando o momento clássico falha
1 · Prever
Um elétron 400 keV se move rápido o suficiente para que os efeitos relativísticos sejam importantes (β ≈ 0.83). O uso da fórmula simples não relativística de Broglie λ = h/√(2mK) ainda fornece um comprimento de onda preciso nesta energia?
- Sim – a fórmula não relativística ainda funciona bem em qualquer energia eletrônica.
- Não — nesta energia o momento do elétron deve ser calculado relativisticamente; a fórmula não relativística estaria visivelmente errada.
- Os cálculos do comprimento de onda não dependem de forma alguma de efeitos relativísticos.
2 · Preparar
- Abra a predefinição de comparação de elétrons e pressione Redefinir. A energia cinética padrão desta predefinição é 400 keV, fornecendo β ≈ 0.83.
- Ative a leitura do comprimento de onda de Broglie.
- Defina a energia cinética do elétron para cada tentativa (todas no regime relativístico) e registre seu comprimento de onda de Broglie usando a fórmula do momento relativístico.
3 · Coletar Dados
| Energia cinética K (eV) | Comprimento de onda de De Broglie λ (pm) |
|---|---|
| 200000.00 | |
| 400000.00 | |
| 600000.00 |
Plote o comprimento de onda λ (eixo y) em função da energia cinética K (eixo x) para os seus três testes.
4 · Analisar
- Para uma tentativa, calcule o momento relativístico via pc = √(K(K + 2m_ec²)) (com m_ec² ≈ 511 keV, a energia de repouso do elétron), então λ = hc/(pc) — convertendo as unidades com cuidado. Compare com a tabela.
- Explique por que a fórmula do momento relativístico pc = √(K(K + 2mc²)) se reduz à familiar não relativística p = √(2mK) quando K é muito menor que a energia restante mc² - e por que essa aproximação falha quando K se torna comparável ou maior que mc².
5 · Aprofundar
- A energia de repouso de um elétron m_ec² ≈ 511 keV. Na energia cinética de 400 keV, a energia total do elétron já é cerca de 78% maior que sua energia de repouso - solidamente no regime relativístico. Explique por que os físicos têm como regra geral que as correções relativísticas se tornam importantes quando a energia cinética se aproxima aproximadamente de 10% da energia de repouso.
- Os aceleradores de partículas atingem rotineiramente energias cinéticas enormemente maiores do que a energia de repouso de uma partícula (ultra-relativística). Explique por que, nesse limite extremo, pc ≈ K (energia momento e energia cinética tornam-se quase iguais), embora isso claramente não seja verdade em velocidades diárias não relativísticas.
A física por trás deste experimento
Relação energia–quantidade de movimento relativística
Para uma partícula relativística, o momento e a energia cinética se relacionam através de (pc)² = K(K + 2mc²), derivado da relação relativística completa entre energia-momento E² = (pc)² + (mc²)². Isso se reduz ao familiar não relativístico p = √(2mK) apenas quando K ≪ mc².