Eliptické dráhy: energia, úniková rýchlosť a excentricita

1 · Predikuj

Družica je vystrelená bočne pri polomere r okolo centrálnej hmoty rýchlosťou nižšou než rýchlosť kružnicovej dráhy. Vykreslí uzavretú elipsu, udrží dokonalú kružnicu, alebo odletí a nikdy sa nevráti?

2 · Priprav

  1. Otvor simuláciu eliptickej dráhy a stlač Resetovať. Centrálna hmota sedí v strede scény s gravitačným parametrom GM = 40 m³/s².
  2. Zapni sondy energie a excentricity na družici, takže obe invarianty sa zobrazujú naživo.
  3. Pre každý pokus nižšie umiestni družicu pri polomere r na os x, daj jej čisto bočnú (tangenciálnu) štartovaciu rýchlosť v, stlač Prehrať a nech ju dokončiť aspoň jeden obeh pred zaznamenaním ustálených odčítaní sondy.

3 · Zbieraj údaje

Gravitačný parameter GM (m³/s²)Štartovací polomer r (m)Tangenciálna štartovacia rýchlosť v (m/s)Úniková rýchlosť v_esc (m/s)Merná obežná energia ε (J/kg)Excentricita e
40.002.004.00
40.003.203.00
40.004.002.40
40.005.002.00

Zaznamenaj nameranú excentricitu e (os y) verzus mernú obežnú energiu ε (os x). Ako ε stúpa k nule, čo sa deje s tvarom dráhy?

4 · Analyzuj

  1. Vypočítaj mernú obežnú energiu ε = v²/2 − GM/r pre každý riadok a potvrď znamienko. Čo ti záporné ε hovorí o tom, či je družica viazaná na centrálnu hmotu?
  2. Porovnaj každú štartovaciu rýchlosť v s únikovou rýchlosťou v_esc, ktorú si vypočítal. Štart je tangenciálny, takže h = r·v; ukáž, že e = √(1 + 2εh²/GM²) reprodukuje excentricitu prečítanú zo simulácie, a vysvetli, prečo štart bližšie únikovej rýchlosti dáva predĺženejšiu elipsu.

5 · Rozšír

  1. Pre každý štartovací polomer, aká tangenciálna rýchlosť by z elipsy urobila dokonalú kružnicu? (Nápoveda: v_circ = √(GM/r).) Je štartovacia rýchlosť tvojej tabuľky nad alebo pod touto hodnotou a ako to vysvetľuje tvar dráhy?
  2. Dlhoperiodické kométy majú excentricity blízke 1. Čo to implikuje o ich rýchlosti v najbližšom priblížení voči miestnej únikovej rýchlosti — a prečo úplne neuniknú Slnku?

Fyzika za týmto experimentom

Úniková rýchlosť

Minimálna tangenciálna rýchlosť pri polomere r, ktorá by družici dovolila uniknúť centrálnej hmote. Štart pod touto rýchlosťou drží ε záporné a dráhu viazanú — elipsu namiesto neviazanej trajektórie.

Kružnicová obežná rýchlosť

Tangenciálna rýchlosť, ktorá produkuje dokonalú kružnicu pri polomere r. Pomalší štart než tento (ako v každom pokuse tu) zvrhne družicu dovnútra po pustení a kreslí elipsu so štartovacím bodom ako vzdialeným apocentrom.

← Späť na experiment

Mechanika

138 bezplatných tlačiteľných pracovných listov z fyziky