Định luật thứ hai của Kepler: Diện tích bằng nhau và động lượng góc
1 · Dự đoán
Một vệ tinh trên quỹ đạo hình elip được phóng sang một bên ở điểm cận nhật (tiếp cận gần nhất). Khi nó di chuyển đến điểm viễn nhật và quay trở lại, đường nối nó với khối trung tâm có quét ra khu vực gần điểm cận nhật nhanh hơn, nhanh hơn ở gần điểm viễn nhật hay với tốc độ như nhau ở mọi nơi?
- Đường bán kính quét khu vực gần điểm cận nhật nhanh nhất, nơi vệ tinh di chuyển nhanh nhất.
- Đường bán kính quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau - cùng một tốc độ ở mọi nơi trên quỹ đạo.
- Đường bán kính quét khu vực gần điểm viễn nhật nhanh nhất, nơi vệ tinh có nhiều không gian nhất để di chuyển.
2 · Thiết lập
- Mở mô phỏng các vùng bằng nhau và nhấn Reset. Khối lượng trung tâm nằm ở giữa sân khấu với tham số hấp dẫn GM = 40 m³/s², và các hình nêm khu vực được tô bóng vạch ra khu vực mà đường bán kính của vệ tinh quét ra.
- Kích hoạt đầu dò động lượng góc cụ thể (h) và đầu dò độ lệch tâm (e) trên vệ tinh để cả hai bất biến đều được hiển thị trực tiếp.
- Đối với mỗi lần thử bên dưới, hãy đặt bán kính điểm cận nhật r_p và bán kính điểm viễn nhật r_a, phóng vệ tinh từ điểm cận nhật với vận tốc hoàn toàn theo phương ngang (tiếp tuyến), nhấn Play và để nó hoàn thành ít nhất một quỹ đạo đầy đủ trước khi ghi lại số đọc h đã ổn định.
3 · Thu thập dữ liệu
| Bán kính điểm cận nhật r_p (m) | Bán kính viễn điểm r_a (m) | Tốc độ thoát ở điểm cận nhật v_esc (m/s) | Xung lượng góc riêng h (m²/s) |
|---|---|---|---|
| 2.50 | 5.00 | ||
| 2.00 | 6.00 | ||
| 3.00 | 4.00 |
Vẽ đồ thị xung lượng góc cụ thể đo được h (trục y) theo bán kính điểm cận nhật r_p (trục x) cho ba quỹ đạo của bạn. Sau đó, quan sát một quỹ đạo đơn lẻ chạy, phác họa tốc độ của vệ tinh thay đổi như thế nào từ điểm cận nhật đến điểm viễn nhật - nơi nào nhanh nhất và nơi nào chậm nhất?
4 · Phân tích
- Đối với một quỹ đạo, hãy lưu ý số đọc h ở điểm cận nhật và lần nữa ở điểm viễn nhật. Trong lỗi đọc, chúng phải khớp. Sử dụng h = r·v, giải thích tại sao vệ tinh phải chuyển động chậm hơn khi r lớn (điểm viễn nhật) và nhanh hơn khi r nhỏ (điểm cận nhật) để giữ h không đổi.
- Diện tích quét trong một đơn vị thời gian là dA/dt = h/2. Vì h không đổi nên các diện tích bằng nhau sẽ được quét trong những thời gian bằng nhau. Sử dụng h đo được của bạn cho quỹ đạo đầu tiên để tính dA/dt và xác nhận h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) tái tạo giá trị bạn đọc được từ sim.
- So sánh tốc độ điểm cận nhật của vệ tinh (v_p = h/r_p) với tốc độ thoát v_esc mà bạn đã tính cho mỗi hàng. V_p ở trên hay dưới v_esc và điều đó cho bạn biết liệu quỹ đạo có bị giới hạn hay không?
5 · Gia hạn
- Sao chổi Halley bay qua Mặt trời trong nhiều tháng nhưng phải mất hàng thập kỷ để bò trở lại từ hệ mặt trời bên ngoài. Sử dụng định luật diện tích bằng nhau, hãy giải thích tại sao sao chổi dành rất ít quỹ đạo ở gần Mặt trời và phần lớn quỹ đạo ở xa Mặt trời.
- Động lượng góc riêng h = r·v không mang số hạng khối lượng. Nếu bạn tăng gấp đôi khối lượng của vệ tinh nhưng phóng nó giống hệt nhau thì h đo được có thay đổi không? Liệu xung lượng góc toàn phần của nó L = m·r·v có thay đổi không? Giải thích sự khác biệt.
Vật lý đằng sau thí nghiệm này
Tốc độ thoát hiểm
Tốc độ tối thiểu ở bán kính r sẽ cho phép vệ tinh thoát khỏi khối lượng trung tâm. Tốc độ điểm cận nhật thực sự của vệ tinh vẫn ở dưới giá trị này, do đó quỹ đạo vẫn bị ràng buộc - một hình elip khép kín quét các diện tích bằng nhau trong thời gian bằng nhau.
Tốc độ quỹ đạo tròn
Tốc độ tiếp tuyến tạo ra một đường tròn hoàn hảo ở bán kính r. Việc phóng nhanh hơn tốc độ này ở điểm cận nhật (như mọi lần thử hình elip ở đây đều làm) sẽ đưa vệ tinh hướng ra ngoài đến một điểm viễn nhật ở xa trước khi lực hấp dẫn kéo nó trở lại.