Lleis de Kepler del moviment planetari
Els planetes no es mouen en cercles perfectes: traçen el·lipses (cercles estirats) amb el Sol assegut en un focus, no al centre. Quan un planeta s'acosta al Sol s'accelera, i quan se n'allunya alenteix, escombrant àrees iguals en temps iguals. Com més enfora és l'òrbita d'un planeta, més triga el seu any, perquè el període al quadrat creix amb la mida de l'òrbita al cub.
La fórmula
T² = k · a³
- T — període (yr): el temps que triga el planeta a completar una òrbita sencera
- a — semieix major (AU): la distància mitjana del planeta al Sol
- k — constant de proporcionalitat (yr²/AU³): iguala 1 per a qualsevol cosa que orbiti el nostre Sol en aquestes unitats
Exemple resolt
Un planeta orbita el Sol amb semieix major de 4 unitats astronòmiques. Quants anys triga a completar una òrbita?
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 anys
Posa't a prova
Un planeta diferent orbita amb semieix major de 9 unitats astronòmiques. Quin és el seu període orbital?
- 9 anys
- 81 anys
- Resposta correcta: 27 anys
Correcte! T² = a³ = 9³ = 729, i l'arrel quadrada de 729 és 27 anys.
Al llarg de la seva òrbita el·líptica, on es mou més ràpid un planeta?
- Resposta correcta: Al més a prop del Sol
- Al més lluny del Sol
- La velocitat mai no canvia
Bé! Àrees iguals en temps iguals vol dir que el planeta ha d'accelerar quan és més a prop del Sol.
On ho veus
Tot planeta del sistema solar, tota lluna al voltant d'un planeta i tot satèl·lit al voltant de la Terra traça una el·lipse que obeeix aquestes tres lleis: es van descobrir a partir d'observacions a ull nu de Mart dècades abans que Newton expliqués per què la gravetat produeix exactament aquest comportament. Els cometes en el·lipses molt estirades mostren la segona llei de manera més dramàtica, fuetant al voltant del Sol en l'apropament i arrossegant-se a prop del punt més llunyà.
Errors freqüents
És fàcil imaginar òrbites planetàries com cercles amb el Sol al centre: les òrbites reals són el·lipses amb el Sol en un focus, no al mig, i per això la distància d'un planeta al Sol canvia realment al llarg del seu any. Els estudiants també suposen a vegades velocitat constant: la segona llei diu el contrari, un planeta s'accelera a prop del Sol i alenteix lluny, escombrant àrees iguals en temps iguals igualment.
Com s'connecta
Kepler va descobrir aquests tres patrons ajustant les posicions observades de Mart a les dades, dècades abans que Newton demostrés que tots surten d'una sola llei de força: gravitació universal combinada amb moviment centripet. Juntes, la gravitació i les lleis de Kepler tanquen la seqüència de mecànica que va començar amb la caiguda lliure: la mateixa petita colla d'idees (força, acceleració, energia, quantitat de moviment) que descrivia una bola deixada caure també descriu un sistema solar sencer.