Stojaté vlnění na struně
Když se vlny odrážejí a interferují, vznikají stabilní obrazce s uzly a kmitnami. Stojaté vlnění je ústřední pro hudební nástroje a rezonanci.
Uzly a kmitny
Uzly jsou body, které zůstávají v klidu; kmitny kmitají s maximální amplitudou. Počet úseků závisí na frekvenci a okrajových podmínkách.
Rezonance a harmonické
Při rezonančních frekvencích se na struně vejdou celistvé násobky půlvlnové délky. Každá harmonická přidá mezi pevné konce další kmitnu.
Vlnová rovnice
Rychlost vlny určuje prostředí, kterým putuje, jako napnutí struny nebo vzduch, ve kterém se hýbe — ne to, jak rychle třeseš zdrojem. Protože rychlost zůstává pevná, každý cyklus, který vyšleš, se musí vejít do téže rychlosti, takže rychlejší chvění balí cykly těsněji dohromady do kratší vlnové délky.
Vzorec
v = f · λ
- v — rychlost vlnění (m/s): jak rychle se vlnový obrazec hýbe skrz prostředí
- f — frekvence (Hz): kolik vlnových cyklů projde bodem každou sekundu
- λ — vlnová délka (m): délka jednoho celého vlnového cyklu
Řešený příklad
Vlna putuje po struně a dokončí 5 celých cyklů každou sekundu. Každý cyklus se rozprostírá přes 2 metry. Jak rychle vlna putuje?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Ověř se
Tentáž struna pořád nese vlny rychlostí 10 metrů za sekundu. Když ji budeš třást na 10 hertzích místo 5, co se stane s vlnovou délkou?
- Zdvojnásobí se na 4 m
- Zůstane na 2 m
- Správná odpověď: Způlí se na 1 m
Správně! Rychlost fixuje struna, takže λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — zdvojnásobení frekvence půlí vlnovou délku.
Jiná vlna má frekvenci 4 hertzy a vlnovou délku 3 metry. Jaká je její rychlost?
- Správná odpověď: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Správně! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
Kde to vidíš
Zpřísnění kytarové struny je tato rovnice zvučně: napnutější struna nese vlny rychleji, takže každé vychvění, které hráč vyšle, se vrací jako vyšší tón. Rychlejší třesení struny dělá něco jiného — vlna se pořád šíří rychlostí, kterou struna dovoluje, ale cykly se balí blíž k sobě do kratší vlnové délky. Prostředí, ne hudebník, určuje rychlost.
Časté chyby
Reflexní chyba je, že rychlejší třesení zdrojem musí urychlit vlnu — rychlost je určena samotným prostředím, takže rychlejší kývnutí jen zkracuje vlnovou délku: přeuspořádej v = f · λ na λ = v / f a směna je explicitní. Třes strunou 10 m/s na 10 hertzích místo 5 a vlnová délka klesne z 2 metrů na 1 metr, zatímco rychlost se ani nepohne. Frekvence a vlnová délka nejsou nezávislé knoflíky.
Jak to souvisí
Tato jediná rovnice je páteř celého modulu vlnění: Dopplerův efekt je to, co se stane, když vlastní pohyb zdroje naruší tyto vlnové délky při pevné rychlosti vlny, a zázněje jsou dvě skoro stejné frekvence vyměňující si místo v rytmu a mimo něj. Sahá i přes moduly — interference a difrakce v optice se řídí vlnovou délkou světla přes tentýž vztah.