Mekanik

Lige store arealer

Skyggede kiler fra M til sporet gennemløber ens arealer på ens tider.

Lige store arealer — interaktiv Mekanik-simulation. Skyggede kiler fra M til sporet gennemløber ens arealer på ens tider. Gratis virtuelt fysiklaboratorium i browseren med live SI-målinger og en guidet gennemgang.

Keplers anden lov

En linje fra den centrale masse til satellitten overstryger lige store arealer i lige lange tider — satellitten bevæger sig hurtigere, når den er tættere på.

Bevarelse af impulsmomentet forklarer, hvorfor banefarten stiger nær pericentrum. Overstrygning af lige store arealer er synlig som skyggede kiler på scenen i denne forudstilling.

• dA/dt = konstant
• L = mvr sin θ = konstant

Undersøgelsesoplæg

Planlæg spørgsmålet, før du åbner laboratoriet

Resuméet spejler den forhåndsrenderede side: drivende spørgsmål, konkurrerende forudsigelser, variablernes roller, styrende love, opsætning, analyse- og udvidelsesspørgsmål forbliver synlige og i denne rækkefølge.

Drivende spørgsmål

En satellit i et elliptisk kredsløb affyres sidelæns i perihel (tætteste punkt). Efterhånden som den glider ud til aphel og tilbage, overstryger linjen fra den til den centrale masse så areal hurtigere nær perihel, hurtigere nær aphel, eller med samme fart overalt?

Forudsigelser at afveje

• Radiuslinjen overstryger areal hurtigst nær perihel, hvor satellitten bevæger sig hurtigst.
• Radiuslinjen overstryger lige store arealer i lige store tider — samme fart overalt på kredsløbet.
• Radiuslinjen overstryger areal hurtigst nær aphel, hvor satellitten har mest plads at bevæge sig på.

Variablers roller

Det, du indstiller:

• Perihelradius r_p (m)
• Aphelradius r_a (m)

Det, du måler:

• Undvigelseshastighed i perihel v_esc (m/s)
• Specifikt impulsmoment h (m²/s)

Sådan forløber undersøgelsen

1. Åbn simulationen med ens arealer, og tryk på Nulstil. Den centrale masse ligger midt på scenen med gravitationsparameteren GM = 40 m³/s², og de skyggede kilesektorer tegner det areal, satellittens radiuslinje overstryger.
2. Slå måleren for specifikt impulsmoment (h) og excentricitetsmåleren (e) til på satellitten, så begge invarianter vises live.
3. Indstil for hvert forsøg nedenfor perihelradius r_p og aphelradius r_a, affyr satellitten fra perihel med en rent sidelæns (tangentielt) hastighed, tryk på Afspil, og lad den gennemføre mindst ét helt kredsløb, før du noterer den stabiliserede h-aflæsning.

Styrende ligning

Undvigelseshastighed — v_esc = √(2GM / r)

Den mindste fart ved radius r, der ville lade satellitten bryde fri af den centrale masse. Satellittens faktiske perihelfart forbliver under denne værdi, så kredsløbet forbliver bundet — en lukket ellipse, der overstryger lige store arealer i lige store tider.

Banehastighed i cirkel — v = √(GM / r)

Den tangentielle fart, der giver en perfekt cirkel ved radius r. En hurtigere affyring i perihel (som hvert elliptisk forsøg her gør) sender satellitten ud til et fjerntliggende aphel, før tyngdekraften trækker den tilbage.

Det, det printbare arbejdsark beder eleverne regne ud

• Notér for ét kredsløb h-aflæsningen i perihel og igen i aphel. Inden for aflæsningsfejl bør de stemme overens. Brug h = r·v til at forklare, hvorfor satellitten skal bevæge sig langsommere, når r er stor (aphel), og hurtigere, når r er lille (perihel), for at holde h konstant.
• Arealet overstryget pr. tidenhed er dA/dt = h/2. Da h er konstant, overstryges lige store arealer i lige store tider. Brug dit målte h for det første kredsløb til at beregne dA/dt, og bekræft, at h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) gengiver den værdi, du aflæser i simulationen.
• Sammenlign satellittens perihelfart (v_p = h/r_p) med den undvigelseshastighed v_esc, du beregnede for hver række. Er v_p over eller under v_esc, og hvad fortæller det dig om, hvorvidt kredsløbet forbliver bundet?

Hvor det viser sig uden for laboratoriet

• Halleys komet suser forbi Solen på få måneder, men bruger årtier på at kravle tilbage fra det ydre solsystem. Brug loven om ens arealer til at forklare, hvorfor en komet tilbringer så lille en del af sit kredsløb nær Solen og så stor en del langt væk.
• Det specifikke impulsmoment h = r·v indeholder ingen masseterm. Hvis du fordoblede satellittens masse, men affyrede den identisk, ville det målte h så ændre sig? Ville det samlede impulsmoment L = m·r·v ændre sig? Forklar forskellen.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Velkommen til Lige store arealer
2. Vælg satellitten
3. Tryk på Afspil
4. Lige store arealer
5. Åbn dataene
6. Du klarede det!

Åbn den interaktive simulation for at bygge scenen, tryk på Afspil og udforsk med live-målinger og en guidet gennemgang.

Åbn interaktivt laboratorium →

Download labark →

Keplers love for planetbevægelse