Νόμοι Kepler για την πλανητική κίνηση
Οι πλανήτες δεν κινούνται σε τέλειους κύκλους — χαράσσουν ελλείψεις (τεταμένους κύκλους) με τον ήλιο να κάθεται σε μία εστία, όχι στο κέντρο. Καθώς πλανήτης αιωρείται πιο κοντά στον ήλιο επιταχύνει, και καθώς παρασύρεται πιο μακριά επιβραδύνεται, σαρώνοντας ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Όσο πιο μακριά είναι η τροχιά πλανήτη, τόσο πιο μακρύ του έτος παίρνει, επειδή η περίοδος στο τετράγωνο μεγαλώνει με τον κύβο του μεγέθους της τροχιάς.
Ο τύπος
T² = k · a³
- T — περίοδος (yr): ο χρόνος που παίρνει ο πλανήτης να ολοκληρώσει μία πλήρη τροχιά
- a — ημι-μεγάλος άξονας (AU): η μέση απόσταση πλανήτη από τον ήλιο
- k — σταθερά αναλογίας (yr²/AU³): ίσο με 1 για οτιδήποτε περιφέρεται γύρω από τον ήλιο μας σε αυτές τις μονάδες
Λυμένο παράδειγμα
Πλανήτης περιφέρεται γύρω από τον ήλιο σε ημι-μεγάλο άξονα 4 αστρονομικών μονάδων. Πόσα έτη παίρνει για να ολοκληρώσει μία τροχιά;
- a = 4 AU
- k = 1 yr²/AU³
- T² = k · a³
- T² = 1 · 4³ = 64
T = 8 έτη
Τεστ εαυτού
Διαφορετικός πλανήτης περιφέρεται σε ημι-μεγάλο άξονα 9 αστρονομικών μονάδων. Ποια είναι η τροχιακή του περίοδος;
- 9 έτη
- 81 έτη
- Σωστή απάντηση: 27 έτη
Σωστά! T² = a³ = 9³ = 729, και η τετραγωνική ρίζα του 729 είναι 27 έτη.
Κατά μήκος της ελλειπτικής τροχιάς του, πού κινείται ταχύτερα ένας πλανήτης;
- Σωστή απάντηση: Πιο κοντά στον ήλιο
- Πιο μακριά από τον ήλιο
- Η ταχύτητα δεν αλλάζει ποτέ
Σωστά! Ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους σημαίνει ότι ο πλανήτης πρέπει να επιταχύνει όταν είναι πιο κοντά στον ήλιο.
Πού το βλέπεις
Κάθε πλανήτης στο ηλιακό σύστημα, κάθε φεγγάρι γύρω από πλανήτη και κάθε δορυφόρος γύρω από τη Γη χαράσσει έλλειψη που υπακούει σε αυτούς τους τρεις νόμους — ανακαλύφθηκαν από γυμνομάτη παρατήρηση του Άρη δεκαετίες πριν ο Newton εξηγήσει γιατί η βαρύτητα παράγει ακριβώς αυτή τη συμπεριφορά. Κομήτες σε πολύ τεντωμένες έλλειψεις δείχνουν τον δεύτερο νόμο πιο δραματικά, μαστιγώνοντας γύρω από τον Ήλιο στο περιήλιο και σέρνοντας κοντά στο πιο μακρινό σημείο τους.
Συχνά λάθη
Εύκολο είναι να φαντάζεσαι τις πλανητικές τροχιές κύκλους με τον Ήλιο στο κέντρο — οι πραγματικές τροχιές είναι έλλειψεις με τον Ήλιο σε μία εστία, όχι στη μέση, γι’ αυτό η απόσταση ενός πλανήτη από τον Ήλιο πραγματικά αλλάζει μέσα στον χρόνο του. Μαθητές επίσης μερικές φορές υποθέτουν σταθερή ταχύτητα πλανήτη — ο δεύτερος νόμος λέει το αντίθετο: πλανήτης επιταχύνει κοντά στον Ήλιο και επιβραδύνει μακριά του, σαρώνοντας ίσες εκτάσεις σε ίσους χρόνους ούτως ή άλλως.
Πώς συνδέεται
Ο Kepler ανακάλυψε αυτά τα τρία μοτίβα προσαρμόζοντας τις παρατηρούμενες θέσεις του Άρη στα δεδομένα, δεκαετίες πριν ο Newton δείξει ότι όλα βγαίνουν από έναν νόμο δύναμης: η παγκόσμια βαρύτητα σε συνδυασμό με κεντρομόλη κίνηση. Μαζί, βαρύτητα και νόμοι Kepler κλείνουν την αλληλουχία μηχανικής που άρχισε με την ελεύθερη πτώση — η ίδια χούφτα ιδεών (δύναμη, επιτάχυνση, ενέργεια, ορμή) που περιέγραφε ένα αφεμένο μπαλάκι περιγράφει και ολόκληρο ηλιακό σύστημα.