موج‌های ایستاده روی وتر
سیم گیتاری را بنوازید، بر دهانه‌ی یک بطری بدمید، یا طناب‌بازی را با سرعتی درست تکان دهید، و همان پدیده را خواهید دید: دو موج که در جهت‌های مخالف در یک محیط یکسان حرکت می‌کنند، با هم تداخل می‌یابند و الگویی می‌سازند که به‌جای حرکت، ثابت به‌نظر می‌رسد. این اتفاق هر بار که یک موج از انتهایی ثابت یا آزاد بازتاب می‌یابد و با بازتاب خودش هم‌پوشانی پیدا می‌کند رخ می‌دهد — در بیشتر بسامدها نتیجه آشفتگی درهم‌ریخته‌ای است، اما در بسامدهای تشدید معین، تداخل در الگویی پاک و ساکن قفل می‌شود: نقاطی که هرگز حرکت نمی‌کنند (گره‌ها) و نقاطی که میان بیشینه‌ی جابه‌جایی نوسان می‌کنند (شکم‌ها). تقریباً هر ساز موسیقی، از سازهای زهی تا سازهای بادی و پوست طبل‌ها، دقیقاً به همین رفتار برای تولید یک زیروبمی پایدار متکی است.
گره‌ها و شکم‌ها
گره‌ها نقطه‌هایی‌اند که بی‌حرکت می‌مانند؛ شکم‌ها با بیشینهٔ دامنه نوسان می‌کنند. شمار بخش‌ها به بسامد و شرایط مرزی بستگی دارد.
تشدید و هارمونیک‌ها
در بسامدهای تشدید، مضرب‌های صحیحِ نصف طول موج روی وتر جا می‌شوند. هر هارمونیک یک شکم دیگر میان دو سر ثابت می‌افزاید.
معادلهٔ موج
تندی موج را محیطی که در آن می‌رود تعیین می‌کند، مثل کشش وتر یا هوایی که در آن حرکت می‌کند — نه تندی تکان‌دادن منبع. چون تندی ثابت می‌ماند، هر چرخه‌ای که می‌فرستید باید در همان تندی جا شود؛ پس تکانِ تندتر، چرخه‌ها را فشرده‌تر و در طول موجی کوتاه‌تر می‌چیند.
فرمول
v = f · λ
- v — تندی موج (m/s): الگوی موج با چه تندی از محیط می‌گذرد
- f — بسامد (Hz): هر ثانیه چند چرخهٔ موج از نقطه‌ای می‌گذرد
- λ — طول موج (m): طول یک چرخهٔ کامل موج
مثال حل‌شده
موجی روی وتری می‌رود و هر ثانیه 5 چرخهٔ کامل انجام می‌دهد. هر چرخه 2 متر گسترده است. موج با چه تندی پیش می‌رود؟
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
خودتان را بیازمایید
همان وتر همچنان موج را با 10 متر بر ثانیه می‌برد. اگر با 10 هرتز به‌جای 5 تکانش دهید، با طول موج چه می‌شود؟
- دو برابر می‌شود به 4 m
- همان 2 m می‌ماند
- پاسخ درست: نصف می‌شود به 1 m
درست است! تندی با ریسمان ثابت است، پس λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — دوبرابرکردن بسامد طول موج را نصف می‌کند.
موج دیگری بسامد 4 هرتز و طول موج 3 متر دارد. تندی‌اش چند است؟
- پاسخ درست: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
درست است! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
کجا آن را می‌بینید
کشیدنِ وترِ گیتار، همین معادله در حالت شنیدنی است: وترِ کشیده‌تر موج‌ها را تندتر می‌برد، پس هر ارتعاشی که نوازنده بیرون می‌فرستد با زیریِ بالاتر به گوش می‌رسد. تندتر تکان‌دادن وتر کار دیگری می‌کند — موج همچنان با همان تندی‌ای پیش می‌رود که وتر اجازه می‌دهد، اما چرخه‌ها فشرده‌تر کنار هم و در طول موجی کوتاه‌تر می‌نشینند. تندی را محیط تعیین می‌کند، نه نوازنده.
اشتباهات رایج
خطای ناخودآگاه این است که تندتر تکان‌دادن منبع حتماً موج را تندتر پیش می‌برد — تندی فقط از سوی محیط ثابت شده است، پس تکانِ تندتر فقط طول موج را کوتاه‌تر می‌کند: v = f · λ را به λ = v / f بازآرایی کنید تا این بده‌بستان آشکار شود. وتری با تندی 10 m/s را به‌جای 5 هرتز با 10 هرتز تکان دهید تا طول موج از 2 متر به 1 متر سقوط کند، در حالی که تندی حتی تکان نمی‌خورد. بسامد و طول موج دو پیچِ تنظیمِ مستقل نیستند.
چگونه ارتباط دارد
همین یک معادله ستون فقرات کل واحد موج‌هاست: اثر دوپلر چیزی است که رخ می‌دهد وقتی حرکتِ خودِ منبع، در تندیِ ثابتِ موج، آن طول‌های موج را کج می‌کند، و ضربان دو بسامدِ تقریباً یکسان است که جلو می‌زنند و عقب می‌افتند و مدام هم‌گام و ناهم‌گام می‌شوند. این رابطه به ماژول‌های دیگر هم سرایت می‌کند — تداخل و پراش در نورشناسی از راه همین رابطه و به‌واسطهٔ طول موج نور حکم می‌رانند.