पतले लेंस का समीकरण

एक लेंस प्रकाश किरणों को मोड़कर उन्हें एक बिंदु पर फिर मिलाता है, जिससे प्रतिबिंब बनता है। वह प्रतिबिंब कहाँ बनता है यह इस पर निर्भर करता है कि वस्तु लेंस से कितनी दूर है और लेंस प्रकाश को कितनी दृढ़ता से मोड़ता है, जिसे फोकस दूरी कहते हैं। पतले लेंस का समीकरण इन तीन दूरियों को आपस में जोड़ता है, तो कोई भी दो जानकर आप तीसरी निकाल सकते हैं।

सूत्र

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

f — फोकस दूरी (m): लेंस प्रकाश को कितनी दृढ़ता से मोड़ता है — जहाँ समानांतर किरणें मिलती हैं
dₒ — वस्तु दूरी (m): वस्तु लेंस से कितनी दूर है
dᵢ — प्रतिबिंब दूरी (m): प्रतिबिंब लेंस से कितनी दूर बनता है

हल किया गया उदाहरण

एक अभिसारी लेंस की फोकस दूरी 10 cm है। एक वस्तु उसके सामने 30 cm पर रखी है। प्रतिबिंब लेंस से कितनी दूर बनता है?

f = 10 cm
dₒ = 30 cm

1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

स्वयं को परखें

वही 10 cm फोकस दूरी वाले लेंस का उपयोग करते हुए, यदि वस्तु को 20 cm दूर ले जाया जाए, तो प्रतिबिंब लेंस से कितनी दूर बनता है?

10 cm
सही उत्तर: 20 cm
30 cm

सही! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm, इसलिए dᵢ = 20 cm।

मूल उदाहरण (dₒ = 30 cm, dᵢ = 15 cm) के लिए, आवर्धन क्या है, और यह प्रतिबिंब के बारे में क्या बताता है?

सही उत्तर: m = −0.5 — उल्टा और आधे आकार का
m = 0.5 — सीधा और आधे आकार का
m = −2 — उल्टा और दोगुने आकार का

हाँ — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5, इसलिए प्रतिबिंब उल्टा है और वस्तु की ऊँचाई का आधा है।

आप इसे कहाँ देखते हैं

दीवार पर साफ़ तस्वीर फेंकता प्रोजेक्टर यही समीकरण है: बहुत पास या बहुत दूर जाने पर प्रतिबिंब धुँधला पड़ जाता है, क्योंकि दी गई लेंस और पर्दे की दूरी के लिए केवल एक ही वस्तु दूरी फोकस बनाती है। आपकी अपनी आँख इसे बिना रुके चलाती है — उसका लेंस आकार बदलता रहता है ताकि जिस भी चीज़ की ओर आप देखें, उसका प्रतिबिंब आपकी रेटिना पर फोकस्ड बना रहे।

सामान्य गलतियाँ

पहली चूक प्रतिबिंब दूरी को केवल लेंस का गुण समझ लेना है — यह वस्तु के साथ खिसकती है: 10 cm फोकस दूरी पर 30 cm पर रखी वस्तु का प्रतिबिंब 15 cm पर बनता है, लेकिन उसे 20 cm तक खिसकाइए और प्रतिबिंब 20 cm पर चला जाता है, 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ के अनुसार। दूसरी चूक आवर्धन को ढीले ढंग से पढ़ना है: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 एक ही संख्या में दो तथ्य रखता है — ऋण चिह्न बताता है कि प्रतिबिंब उल्टा है, और 0.5 बताता है कि वह आधे आकार का है।

यह कैसे जुड़ता है

लेंस काम में लगाया हुआ अपवर्तन है: दो वक्र पृष्ठ, हर एक स्नेल के नियम से किरणें मोड़ता हुआ, ऐसी आकृति में कि सारे मोड़ एक जगह मिल जाएँ — और वे कहाँ मिलते हैं, यही यह समीकरण बताता है। दर्पण समीकरण, जो इसके बाद आता है, वही बीजगणित निकलता है, बस अपवर्तन की कुर्सी पर परावर्तन बैठा है — मॉड्यूल की एक सुखद चौंकाने वाली बात।