薄いレンズの公式
レンズは光線を曲げて1点で再び合わせ、像をつくる。像ができる場所は、物体がレンズからどれだけ離れているかと、レンズが光をどれだけ強く曲げるか（焦点距離と呼ぶ）で決まる。薄いレンズの公式はこの3つの距離を結びつけるので、2つがわかれば残り1つを求められる。
公式
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ
- f — 焦点距離 (m): レンズが光を曲げる強さ—平行光線が集まる点
- dₒ — 物体の距離 (m): 物体がレンズからどれだけ離れているか
- dᵢ — 像の距離 (m): 像がレンズからどこにできるか
例題
集光レンズの焦点距離が 10 cm。物体を前方 30 cm に置く。像はレンズからどこにできるか？
- f = 10 cm
- dₒ = 30 cm
- 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
- 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm
dᵢ = 15 cm
自分でチェック
同じ焦点距離 10 cm のレンズで、物体を 20 cm に動かす。像はレンズからどこにできるか？
- 10 cm
- 正解: 20 cm
- 30 cm
正解！ 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm、よって dᵢ = 20 cm。
もとの例（dₒ = 30 cm、dᵢ = 15 cm）で、倍率はいくらですか。またそれは像について何を示しますか？
- 正解: m = −0.5—倒立で半分の大きさ
- m = 0.5—正立で半分の大きさ
- m = −2—倒立で2倍の大きさ
そのとおり—m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5 で、像は逆さで物体の半分の高さになります。
どこで見られるか
プロジェクターがくっきりした映像を壁に投じているのは、まさにこの式が壁の上で働いている証拠です。近すぎても遠すぎても像はぼやけます。レンズとスクリーンまでの距離が決まれば、ピントが合う物体の距離は 1 つしかないからです。あなた自身の目も、この式を休みなく実行しています — 目のレンズは形を変えながら、今見ているものの像をずっと網膜にピントが合った状態に保っているのです。
よくある誤解
最初のつまずきは、像の距離をレンズだけの性質だと思ってしまうことです。像の距離は物体と連動して動きます。焦点距離 10 cm なら、30 cm にある物体の像は 15 cm にできますが、物体を 20 cm まで動かすと像も 20 cm へ移ります（1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ のとおり）。2 つ目は、倍率の読みが雑なことです。m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 という 1 つの数には 2 つの事実が詰まっています — マイナスは像が倒立であることを、0.5 は大きさが半分であることを示します。
つながり
レンズは、屈折を手なずけて使ったものです。2 つの曲面がそれぞれスネルの法則で光線を曲げ、曲がりすべてが 1 点に収まるように形が決まっており、その収まる場所こそこの式が予測しています。次の鏡の公式は、屈折の席に反射が座った、まったく同じ代数だと判明します — このモジュールの愉快な驚きの 1 つです。