Równanie cienkiej soczewki

Soczewka zgina promienie światła tak, że spotykają się znowu w punkcie, tworząc obraz. Gdzie obraz powstaje, zależy od tego, jak daleko obiekt leży od soczewki i jak mocno soczewka zgina światło — własności zwanej ogniskową. Równanie cienkiej soczewki wiąże te trzy odległości, więc znajomość dwóch pozwala znaleźć trzecią.

Wzór

1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ

  • f — ogniskowa (m): jak mocno soczewka zgina światło — gdzie równoległe promienie się skupiają
  • dₒ — odległość obiektu (m): jak daleko obiekt jest od soczewki
  • dᵢ — odległość obrazu (m): jak daleko obraz powstaje od soczewki

Przykład rozwiązany

Soczewka skupiająca ma ogniskową 10 cm. Obiekt umieszczono 30 cm przed nią. Jak daleko od soczewki powstaje obraz?

  • f = 10 cm
  • dₒ = 30 cm
  1. 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ
  2. 1/dᵢ = 1/10 cm − 1/30 cm = 1/15 cm

dᵢ = 15 cm

Sprawdź się

Na tej samej soczewce o ogniskowej 10 cm, jeśli obiekt przesunie się na 20 cm, jak daleko od soczewki powstaje obraz?
  • 10 cm
  • Poprawna odpowiedź: 20 cm
  • 30 cm

Zgadza się! 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = 1/10 cm − 1/20 cm = 1/20 cm, więc dᵢ = 20 cm.

Dla oryginalnego przykładu (dₒ = 30 cm, dᵢ = 15 cm), ile wynosi powiększenie i co mówi ci ono o obrazie?
  • Poprawna odpowiedź: m = −0.5 — odwrócony i o połowę mniejszy
  • m = 0.5 — prosty i o połowę mniejszy
  • m = −2 — odwrócony i dwukrotnie większy

Tak — m = −dᵢ/dₒ = −15 cm / 30 cm = −0.5, więc obraz jest odwrócony i ma połowę wysokości przedmiotu.

Gdzie to widzisz

Projektor rzucający ostry obraz to to równanie rozpisane na ścianie: za blisko albo za daleko i obraz się rozmywa, bo przy danej soczewce i odległości ekranu tylko jedna odległość obiektu daje ostrość. Twoje własne oko stosuje je bez przerwy — jego soczewka zmienia kształt, żeby obraz wszystkiego, na co patrzysz, pozostawał ostry na twojej siatkówce.

Częste błędy

Pierwszy potykacz to traktowanie odległości obrazu jak własności samej soczewki — ona przesuwa się razem z obiektem: przy ogniskowej 10 cm obiekt w odległości 30 cm daje obraz w 15 cm, ale przesuń go na 20 cm, a obraz przenosi się na 20 cm, zgodnie z 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ. Drugi to swobodne czytanie powiększenia: m = −dᵢ/dₒ = −15/30 = −0.5 niesie dwie informacje w jednej liczbie — minus mówi, że obraz jest odwrócony, a 0.5, że ma połowę rozmiaru.

Jak się to łączy

Soczewka to załamanie zaprzęgnięte do pracy: dwie zakrzywione powierzchnie, z których każda zgina promienie według prawa Snella, ukształtowane tak, by wszystkie zgięcia się zbiegały — a miejsce, w którym się zbiegają, to właśnie to, co przewiduje to równanie. Równanie zwierciadła, następne, okazuje się identyczną algebrą z odbiciem na miejscu załamania — jedna z przyjemnych niespodzianek modułu.

Wypróbuj interaktywną symulację

Powiązane koncepcje