Órbitas Elípticas: Energia, Velocidade de Escape e Excentricidade
1 · Prever
Um satélite é lançado lateralmente com raio r em torno de uma massa central, a uma velocidade inferior à velocidade da órbita circular. Ele traça uma elipse fechada, forma um círculo perfeito ou voa e nunca mais volta?
- Ele se estabelece em uma elipse alongada e fechada e retorna a cada órbita.
- Ele mantém um círculo perfeito no raio de lançamento.
- Ele escapa da massa central e nunca mais volta.
2 · Preparar
- Abra a simulação de órbita elíptica e pressione Redefinir. A massa central fica no meio do palco com parâmetro gravitacional GM = 40 m³/s².
- Habilite as sondas de energia e excentricidade no satélite para que ambos os invariantes sejam mostrados ao vivo.
- Para cada tentativa abaixo, coloque o satélite no raio r no eixo x, dê-lhe uma velocidade de lançamento puramente lateral (tangencial) v, pressione Reproduzir e deixe-o completar pelo menos uma órbita antes de registrar as leituras estabelecidas da sonda.
3 · Coletar Dados
| Parâmetro gravitacional GM (m³/s²) | Raio de lançamento r (m) | Velocidade de lançamento tangencial v (m/s) | Velocidade de escape v_esc (m/s) | Energia orbital específica ε (J/kg) | Excentricidade e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Plote a excentricidade medida e (eixo y) em relação à energia orbital específica ε (eixo x). À medida que ε sobe em direção a zero, o que acontece com o formato da órbita?
4 · Analisar
- Calcule a energia orbital específica ε = v²/2 − GM/r para cada linha e confirme o sinal. O que um ε negativo lhe diz sobre se o satélite está ligado à massa central?
- Compare cada velocidade de lançamento v com a velocidade de escape v_esc que você calculou. O lançamento é tangencial, então h = r·v; mostre que e = √(1 + 2εh²/GM²) reproduz a excentricidade que você lê no sim e explique por que um lançamento mais próximo da velocidade de escape fornece uma elipse mais alongada.
5 · Aprofundar
- Para cada raio de lançamento, que velocidade tangencial transformaria a elipse num círculo perfeito? (Dica: v_circ = √(GM/r).) A velocidade de lançamento da sua tabela está acima ou abaixo desse valor e como isso explica o formato da órbita?
- Os cometas de longo período têm excentricidades próximas de 1. O que isso implica sobre a sua velocidade na maior aproximação em relação à velocidade de escape local - e por que eles não conseguem escapar do Sol?
A física por trás deste experimento
Velocidade de fuga
A velocidade tangencial mínima no raio r que permitiria ao satélite escapar da massa central. Um lançamento abaixo desta velocidade mantém ε negativo e a órbita limitada - uma elipse em vez de uma trajetória não vinculada.
Velocidade orbital circular
A velocidade tangencial que produz um círculo perfeito com raio r. O lançamento mais lento do que isso (como em todos os testes aqui) deixa o satélite cair para dentro após o lançamento, traçando uma elipse com o ponto de lançamento como seu apoapsis distante.