Segunda Lei de Kepler: Áreas Iguais e Momento Angular

1 · Prever

Um satélite em órbita elíptica é lançado lateralmente no periélio (abordagem mais próxima). À medida que se desloca até ao afélio e regressa, a linha que o une à massa central varre a área mais rapidamente perto do periélio, mais rapidamente perto do afélio, ou à mesma velocidade em todo o lado?

• A linha do raio varre a área mais rapidamente perto do periélio, onde o satélite se move mais rapidamente.
• A linha do raio varre áreas iguais em tempos iguais – a mesma taxa em todos os lugares da órbita.
• A linha do raio varre a área mais rapidamente perto do afélio, onde o satélite tem mais espaço para se mover.

2 · Preparar

1. Abra a simulação de áreas iguais e pressione Redefinir. A massa central fica no meio do palco com parâmetro gravitacional GM = 40 m³/s², e as fatias do setor sombreadas traçam a área que a linha do raio do satélite varre.
2. Ative a sonda de momento angular específico (h) e a sonda de excentricidade (e) no satélite para que ambos os invariantes sejam mostrados ao vivo.
3. Para cada tentativa abaixo, defina o raio do periélio r_p e o raio do afélio r_a, lance o satélite do periélio com uma velocidade puramente lateral (tangencial), pressione Reproduzir e deixe-o completar pelo menos uma órbita completa antes de registrar a leitura h estabelecida.

3 · Coletar Dados

Trace o momento angular específico medido h (eixo y) em relação ao raio do periélio r_p (eixo x) para suas três órbitas. Em seguida, observando uma única órbita, esboce como a velocidade do satélite muda do periélio para o afélio - onde é mais rápido e onde é mais lento?

4 · Analisar

1. Para uma órbita, anote a leitura de h no periélio e novamente no afélio. Dentro do erro de leitura, elas devem coincidir. Usando h = r·v, explique por que o satélite precisa se mover mais devagar quando r é grande (afélio) e mais rápido quando r é pequeno (periélio) para manter h constante.
2. A área varrida por unidade de tempo é dA/dt = h/2. Como h é constante, áreas iguais são varridas em tempos iguais. Use seu h medido para a primeira órbita para calcular dA/dt e confirme que h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reproduz o valor que você leu no sim.
3. Compare a velocidade do periélio do satélite (v_p = h/r_p) com a velocidade de escape v_esc que você calculou para cada linha. V_p está acima ou abaixo de v_esc, e o que isso lhe diz sobre se a órbita permanece vinculada?

5 · Aprofundar

1. O cometa Halley passa pelo Sol em meses, mas leva décadas para retornar do sistema solar externo. Usando a lei das áreas iguais, explique por que um cometa passa tão pouco de sua órbita perto do Sol e tanto longe.
2. O momento angular específico h = r·v não carrega nenhum termo de massa. Se você duplicasse a massa do satélite, mas o lançasse de forma idêntica, o h medido mudaria? Seu momento angular total L = m·r·v mudaria? Explique a diferença.

A física por trás deste experimento

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