Terceira Lei de Kepler: Período Orbital vs. Raio
1 · Prever
Um satélite circunda uma massa central em uma órbita circular estável. Quando você o move para um raio de órbita maior, como muda o tempo para uma revolução completa?
- Uma órbita maior leva mais tempo por revolução.
- O período permanece o mesmo em qualquer raio.
- Uma órbita maior leva menos tempo por revolução.
2 · Preparar
- Abra a predefinição grav-kepler-law. Um satélite orbita a massa central; o temporizador de órbita e a sonda de período já estão conectados.
- Defina o raio da órbita do satélite r e, em seguida, lance-o lateralmente na velocidade da órbita circular mostrada no cartão de fórmula v = √(GM/r) para que a órbita permaneça circular.
- Deixe o satélite completar pelo menos um loop completo e leia o período orbital T do cronômetro quando a órbita estiver estável.
3 · Coletar Dados
| Raio da órbita r (m) | Velocidade circular v (m/s) | Período medido T (s) |
|---|---|---|
| 2.50 | ||
| 3.50 | ||
| 4.50 |
Plote T² (eixo vertical) em função de r³ (eixo horizontal) para as suas três órbitas. Desenhe a melhor reta de ajuste passando pela origem e encontre sua inclinação.
4 · Analisar
- Para cada linha calcule T²/r³. Os três valores são aproximadamente iguais? Compare sua média com 4π²/GM usando GM = 40 (então 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
- Sua linha de T² em função de r³ deve passar pela origem. Explique por que esse formato de reta passando pela origem é exatamente o que T² = (4π²/GM)·r³ prevê, e o que a inclinação representa.
5 · Aprofundar
- Os planetas reais obedecem à mesma lei: Mercúrio (órbita pequena) gira em torno do Sol em 88 dias, enquanto Netuno (órbita grande) leva 165 anos. Use T²/r³ = constante para explicar essa enorme diferença.
- A constante de Kepler aqui é 4π²/GM, portanto depende da massa central, não do satélite. Preveja o que aconteceria com o período de cada órbita se o GM do corpo central fosse duplicado.
A física por trás deste experimento
Terceira Lei de Kepler
Para qualquer órbita em torno de uma determinada massa central, o período ao quadrado é proporcional ao raio médio ao cubo: T²/r³ = 4π²/GM. A proporção é a mesma para todas as órbitas, portanto, cronometrar uma órbita em um raio conhecido revela GM.
Velocidade orbital circular
Um corpo em uma órbita circular de raio r deve viajar a v = √(GM/r): a velocidade que faz a gravidade fornecer exatamente a força centrípeta necessária. O lançamento nesta velocidade mantém a órbita circular em vez de elíptica.