Mekanik

Svep över lika areor

Skuggade kilformade ytor från M till spåret sveper lika stora ytor på lika lång tid.

Svep över lika areor — interaktiv Mekanik-simulering. Skuggade kilformade ytor från M till spåret sveper lika stora ytor på lika lång tid. Gratis virtuellt fysiklabb i webbläsaren med SI-mätningar i realtid och en guidad genomgång.

Keplers andra lag

En linje från den centrala massan till satelliten sveper över lika stora ytor på lika lång tid — satelliten rör sig snabbare när den är närmare.

Bevarandet av rörelsemängdsmoment förklarar varför banfarten ökar nära periapsis. Ytsvep med lika stora ytor syns som skuggade kilar på scenen i den här förinställningen.

• dA/dt = konstant
• L = mvr sin θ = konstant

Undersökningsblad

Planera frågan innan du öppnar labbet

Sammanfattningen speglar den förrenderade sidan: drivande fråga, konkurrerande förutsägelser, variablernas roller, styrande lagar, uppställning, analys- och utvidgningsfrågor förblir synliga och i den här ordningen.

Drivande fråga

En satellit i en elliptisk bana startas sidledes i perihelium (närmaste punkten). När den glider ut till afelium och tillbaka, sveper då linjen mellan den och centralmassan över yta snabbare nära perihelium, snabbare nära afelium, eller med samma takt överallt?

Förutsägelser att väga

• Radiellinjen sveper över yta snabbast nära perihelium, där satelliten rör sig snabbast.
• Radiellinjen sveper över lika stora ytor under lika lång tid — samma takt överallt i banan.
• Radiellinjen sveper över yta snabbast nära afelium, där satelliten har mest utrymme att röra sig.

Variablernas roller

Det du ställer in:

• Periheliumradie r_p (m)
• Apheliumradie r_a (m)

Det du mäter:

• Flykthastighet i perihelium v_esc (m/s)
• Specifikt rörelsemängdsmoment h (m²/s)

Så går undersökningen till

1. Öppna simuleringen för lika stora ytor och tryck på Återställ. Centralmassan sitter mitt på scenen med gravitationsparametern GM = 40 m³/s², och de skuggade sektorkilarna visar den yta som satellitens radiellinje sveper över.
2. Aktivera proben för specifikt rörelsemängdsmoment (h) och excentricitetsproben (e) på satelliten så att båda invarianterna visas i realtid.
3. Ställ in för varje försök nedan perihelieradien r_p och afelieradien r_a, starta satelliten från perihelium med en rent sidriktad (tangentiell) hastighet, tryck på Spela och låt den fullborda minst ett helt varv innan du noterar det stabiliserade h-värdet.

Styrande ekvation

Flykthastighet — v_esc = √(2GM / r)

Den minsta fart vid radien r som skulle låta satelliten komma loss från centralmassan. Satellitens verkliga periheliehastighet ligger under detta värde, så banan förblir bunden — en sluten ellips som sveper över lika stora ytor under lika lång tid.

Banhastighet i cirkel — v = √(GM / r)

Den tangentiella fart som ger en perfekt cirkel vid radien r. Att starta snabbare än så i perihelium (som vartenda elliptiskt försök här gör) skickar satelliten utåt till ett avlägset afelium innan gravitationen drar tillbaka den.

Det det utskrivbara arbetsbladet ber eleverna räkna ut

• Notera för en bana h-avläsningen i perihelium och åter i afelium. Inom avläsningsfelet bör de stämma. Förklara med h = r·v varför satelliten måste röra sig långsammare när r är stor (afelium) och snabbare när r är liten (perihelium) för att hålla h konstant.
• Ytan som sveps per tidsenhet är dA/dt = h/2. Eftersom h är konstant sveps lika stora ytor under lika lång tid. Använd ditt uppmätta h för den första banan för att beräkna dA/dt, och bekräfta att h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) ger värdet du läste av i simuleringen.
• Jämför satellitens periheliehastighet (v_p = h/r_p) med flykthastigheten v_esc som du beräknade för varje rad. Ligger v_p över eller under v_esc, och vad säger det om huruvida banan förblir bunden?

Var det här syns utanför labbet

• Halleys komet sveper förbi solen på månader men tar årtionden på sig att krypa tillbaka från det yttre solsystemet. Förklara med lagen om lika stora ytor varför en komet tillbringar så lite av sin bana nära solen och så mycket av den långt borta.
• Det specifika rörelsemängdsmomentet h = r·v innehåller ingen massterm. Om du fördubblade satellitens massa men startade den identiskt, skulle det uppmätta h ändras? Skulle det fulla rörelsemängdsmomentet L = m·r·v ändras? Förklara skillnaden.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Välkommen till Keplers andra lag
2. Välj satelliten
3. Tryck på Spela upp
4. Lika stora ytor
5. Öppna data
6. Klart!

Öppna den interaktiva simuleringen för att bygga scenen, tryck på Spela och utforska med mätningar i realtid och en guidad genomgång.

Öppna interaktivt labb →

Ladda ner labblad →

Keplers lagar om planeternas rörelse