Стоячі хвилі на струні
Смикніть струну гітари, дмухніть у шийку пляшки або струсіть скакалку з потрібною швидкістю — і ви побачите те саме явище: дві хвилі, що поширюються в протилежних напрямках уздовж одного середовища, інтерферують, створюючи візерунок, який здається нерухомим, а не таким, що біжить. Це відбувається щоразу, коли хвиля відбивається від закріпленого або вільного кінця і накладається на власне відбиття — на більшості частот результатом є безладна суміш, але на певних резонансних частотах інтерференція «застигає» у чіткий, нерухомий візерунок із точок, які ніколи не рухаються (вузли), і точок, що коливаються між максимальними відхиленнями (пучності). Майже кожен музичний інструмент, від струнних до духових і барабанних мембран, покладається саме на цю поведінку, щоб створювати стійку висоту звуку.
Вузли та пучності
Вузли — це точки, що лишаються нерухомими; пучності коливаються з максимальною амплітудою. Кількість сегментів залежить від частоти й граничних умов.
Резонанс і гармоніки
На резонансних частотах на струні вкладається ціле число півхвиль. Кожна гармоніка додає ще одну пучність між закріпленими кінцями.
Рівняння хвилі
Швидкість хвилі задає середовище, яким вона поширюється — натяг струни чи повітря, — а не те, наскільки швидко ви трясете джерело. Бо швидкість стала, кожен цикл, який ви випромінюєте, мусить вміститися в ту саму швидкість: швидше коливання пакує цикли щільніше, у коротшу довжину хвилі.
Формула
v = f · λ
- v — швидкість хвилі (m/s): наскільки швидко хвильовий візерунок рухається крізь середовище
- f — частота (Hz): скільки циклів хвилі проходить повз точку щосекунди
- λ — довжина хвилі (m): довжина одного повного циклу хвилі
Розв'язаний приклад
Хвиля біжить по струні, роблячи 5 повних циклів щосекунди. Кожен цикл розтягнуто на 2 метри. З якою швидкістю рухається хвиля?
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
Перевірте себе
Та сама струна далі несе хвилі зі швидкістю 10 метрів на секунду. Якщо трясти її на 10 герцах замість 5, що станеться з довжиною хвилі?
- Подвоюється до 4 m
- Лишається 2 m
- Правильна відповідь: Удвічі меншає до 1 m
Правильно! Швидкість задає струна, тож λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — подвоєння частоти зменшує довжину хвилі вдвічі.
Інша хвиля має частоту 4 герці і довжину хвилі 3 метри. Яка її швидкість?
- Правильна відповідь: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
Так! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
Де ви це бачите
Підтягування гітарної струни — це те саме рівняння, зроблене чутним на слух: тугіша струна несе хвилі швидше, тож кожне коливання, яке музикант випромінює, повертається до нього вищим тоном. Швидше трясіння струни дає інший ефект — хвиля, як і раніше, біжить із швидкістю, яку дозволяє струна, але цикли пакуються щільніше, у коротшу довжину хвилі. Швидкість задає середовище, а не музикант.
Поширені помилки
Рефлекторна помилка — думати, що швидше трясіння джерела мусить прискорювати й саму хвилю: швидкість визначає виключно середовище, тож швидше коливання лише вкорочує довжину хвилі — перетворіть v = f · λ на λ = v / f, і цей обмін стане явним. Потрясіть струну, де хвилі біжать зі швидкістю 10 m/s, на 10 герців замість 5 — і довжина хвилі впаде з 2 метрів до 1 метра, тоді як швидкість не зміниться. Частота і довжина хвилі — не два незалежні регулятори.
Як це пов'язано
Це єдине рівняння — хребет усього розділу про хвилі: ефект Доплера — це те, що відбувається, коли власний рух джерела спотворює ці довжини хвиль при фіксованій швидкості хвилі, а бієння — це дві майже однакові частоти, що почергово входять у такт і виходять із нього. Воно сягає й інших модулів — інтерференцією і дифракцією в оптиці керує довжина хвилі світла через це саме співвідношення.