Quỹ đạo hình elip: Năng lượng, tốc độ thoát & độ lệch tâm
1 · Dự đoán
Một vệ tinh được phóng theo phương ngang với bán kính r quanh khối lượng trung tâm, với tốc độ nhỏ hơn tốc độ quỹ đạo tròn. Liệu nó có vẽ một hình elip khép kín, giữ một vòng tròn hoàn hảo hay bay đi và không bao giờ quay trở lại?
- Nó chuyển thành một hình elip khép kín, kéo dài và quay trở lại từng quỹ đạo.
- Nó giữ một vòng tròn hoàn hảo ở bán kính phóng.
- Nó thoát khỏi khối trung tâm và không bao giờ quay trở lại.
2 · Thiết lập
- Mở mô phỏng elliptical-orbit và nhấn Reset. Khối lượng trung tâm nằm ở giữa sân khấu với thông số hấp dẫn GM = 40 m³/s².
- Kích hoạt các đầu dò năng lượng và độ lệch tâm trên vệ tinh để cả hai bất biến đều được hiển thị trực tiếp.
- Đối với mỗi lần thử bên dưới, hãy đặt vệ tinh ở bán kính r trên trục x, đặt cho nó tốc độ phóng hoàn toàn theo phương ngang (tiếp tuyến) v, nhấn Play và để vệ tinh hoàn thành ít nhất một quỹ đạo trước khi ghi lại số đọc của đầu dò đã ổn định.
3 · Thu thập dữ liệu
| Tham số hấp dẫn GM (m³/s²) | Bán kính phóng r (m) | Tốc độ phóng tiếp tuyến v (m/s) | Tốc độ thoát v_esc (m/s) | Năng lượng quỹ đạo riêng ε (J/kg) | Độ lệch tâm e |
|---|---|---|---|---|---|
| 40.00 | 2.00 | 4.00 | |||
| 40.00 | 3.20 | 3.00 | |||
| 40.00 | 4.00 | 2.40 | |||
| 40.00 | 5.00 | 2.00 |
Vẽ đồ thị độ lệch tâm đo được e (trục y) theo năng lượng quỹ đạo cụ thể ε (trục x). Khi ε tiến về 0, điều gì xảy ra với hình dạng quỹ đạo?
4 · Phân tích
- Tính năng lượng quỹ đạo riêng ε = v²/2 − GM/r cho mỗi hàng và khẳng định dấu. ε âm cho bạn biết điều gì về việc vệ tinh có bị ràng buộc với khối lượng trung tâm hay không?
- So sánh từng tốc độ phóng v với tốc độ thoát v_esc mà bạn đã tính toán. Sự phóng là tiếp tuyến nên h = r·v; chỉ ra rằng e = √(1 + 2εh²/GM²) tái tạo độ lệch tâm mà bạn đọc được trên mô phỏng và giải thích tại sao tốc độ phóng gần hơn lại tạo ra hình elip dài hơn.
5 · Gia hạn
- Với mỗi bán kính phóng, tốc độ tiếp tuyến bằng bao nhiêu sẽ biến hình elip thành một hình tròn hoàn hảo? (Gợi ý: v_circ = √(GM/r).) Tốc độ phóng của bàn của bạn cao hơn hay thấp hơn giá trị đó và điều đó giải thích hình dạng của quỹ đạo như thế nào?
- Sao chổi chu kỳ dài có độ lệch tâm gần bằng 1. Điều đó có nghĩa gì về tốc độ của chúng ở thời điểm tiếp cận gần nhất so với tốc độ thoát cục bộ - và tại sao chúng không hoàn toàn thoát khỏi Mặt trời?
Vật lý đằng sau thí nghiệm này
Tốc độ thoát hiểm
Tốc độ tiếp tuyến tối thiểu ở bán kính r sẽ giúp vệ tinh thoát khỏi khối lượng trung tâm. Việc phóng dưới tốc độ này sẽ giữ ε âm và quỹ đạo bị ràng buộc - một hình elip chứ không phải là một quỹ đạo không bị ràng buộc.
Tốc độ quỹ đạo tròn
Tốc độ tiếp tuyến tạo ra một đường tròn hoàn hảo ở bán kính r. Việc phóng chậm hơn mức này (như trong mọi lần thử ở đây) sẽ thả vệ tinh vào trong sau khi phóng, vẽ một hình elip với điểm phóng là điểm xa nhất của nó.