الموجات الوقوفية على وتر
اعزف على وتر قيثارة، أو انفخ عبر فوهة زجاجة، أو هزّ حبل قفز بالسرعة المناسبة تمامًا، وسترى الظاهرة نفسها: موجتان تتحركان في اتجاهين متعاكسين على نفس الوسط تتداخلان لتكوّنا نمطًا يبدو ثابتًا بدلًا من أن ينتقل. يحدث هذا كلما انعكست موجة عن طرف ثابت أو حر وتداخلت مع انعكاسها الخاص — عند معظم الترددات تكون النتيجة خليطًا فوضويًا، ولكن عند ترددات رنين محددة يستقر التداخل في نمط ثابت ونظيف من نقاط لا تتحرك أبدًا (العُقد) ونقاط تتأرجح بين أقصى إزاحة (البطون). تعتمد كل آلة موسيقية تقريبًا، من الآلات الوترية إلى آلات النفخ الهوائية إلى جلود الطبول، على هذا السلوك بالضبط لإنتاج نغمة ثابتة.
العقد والبطون
العقد نقاط تبقى ساكنة؛ والبطون تتذبذب بأقصى سعة. يعتمد عدد القطع على التردد وشروط الحدود.
الرنين والتوافقيات
عند الترددات الرنانة، تستقر مضاعفات صحيحة لنصف الطول الموجي على الوتر. كل توافقي يضيف بطنًا بين الطرفين المثبتين.
معادلة الموجة
سرعة الموجة يحددها الوسط الذي تسافر عبره، كشد وتر أو الهواء الذي تتحرك فيه — لا سرعة هزك للمصدر. ولأن السرعة تبقى ثابتة، يجب أن كل دورة ترسلها تتسع في تلك السرعة نفسها، فاهتزاز أسرع يحزم الدورات أقرب في طول موجي أقصر.
الصيغة
v = f · λ
- v — سرعة الموجة (m/s): ما أسرع تحرك نمط الموجة عبر الوسط
- f — التردد (Hz): كم دورة موجية تمر بنقطة كل ثانية
- λ — الطول الموجي (m): طول دورة موجية كاملة
مثال مشروح
موجة تسافر على وتر، متممة 5 دورات كاملة كل ثانية. كل دورة تمتد على مترين. بأي سرعة تسافر الموجة؟
- f = 5 Hz
- λ = 2 m
- v = f · λ
- v = 5 Hz × 2 m
v = 10 m/s
اختبر نفسك
الوتر نفسه ما يزال يحمل موجات عند 10 أمتار في الثانية. إن هززته عند 10 هرتز بدل 5، فماذا يحدث للطول الموجي؟
- يتضاعف إلى 4 m
- يبقى عند 2 m
- الإجابة الصحيحة: ينصف إلى 1 m
صحيح! السرعة مثبتة بالوتر، لذا λ = v / f = 10 m/s ÷ 10 Hz = 1 m — مضاعفة التردد تنصف الطول الموجي.
موجة مختلفة ترددها 4 هرتز وطولها الموجي 3 أمتار. ما سرعتها؟
- الإجابة الصحيحة: 12 m/s
- 7 m/s
- 0.75 m/s
نعم! v = f · λ = 4 Hz × 3 m = 12 m/s.
أين تراه
شدّ وتر الغيتار هو هذه المعادلة مجسَّدة صوتًا: فالوتر المشدود أكثر يحمل الموجات أسرع، ولهذا تعود كل اهتزازة يبثها العازف بطبقة أعلى. أما هزّ الوتر أسرع فيفعل شيئًا مختلفًا — تظل الموجة تسافر بالسرعة التي يسمح بها الوتر، لكن الدورات تتراصّ أقرب إلى بعضها في طول موجي أقصر. الوسط، لا العازف، هو الذي يحدد السرعة.
الأخطاء الشائعة
الخطأ الانعكاسي هو الظن أن هزّ المصدر أسرع لا بد أن يجعل الموجة تسافر أسرع — والسرعة في الحقيقة يثبتها الوسط وحده، فلا يفعل الهزّ الأسرع إلا تقصير الطول الموجي: أعد ترتيب v = f · λ إلى λ = v / f فيصبح هذا التبادل صريحًا. اهزز وترًا سرعته 10 m/s عند 10 هرتز بدلًا من 5، فيهبط الطول الموجي من 2 متر إلى 1 متر، بينما لا تتحرك السرعة إطلاقًا. التردد والطول الموجي ليسا زرَّي تحكم مستقلين.
كيف يرتبط
هذه المعادلة الواحدة هي عمود وحدة الموجات بأكملها: تأثير دوبلر هو ما يحدث حين تشوّه حركة المصدر نفسها تلك الأطوال الموجية عند سرعة موجة ثابتة، والخفقان هو ترددان شبه متطابقين يتبادلان المواضع داخل الاتساق وخارجه. وهي تمتد إلى وحدات أخرى كذلك — التداخل والانعراج في البصريات يحكمهما الطول الموجي للضوء عبر هذه العلاقة نفسها.