قانون كبلر الثاني: المساحات المتساوية والزخم الزاوي

1 · توقّع

قمر على مدار إهليلجي أُطلق جانبيًا عند الحضيض (أقرب اقتراب). أثناء انزلاقه إلى الأوج وعودته، هل يمسح الخط الواصل بينه وبين الكتلة المركزية مساحةً أسرع قرب الحضيض، أم أسرع قرب الأوج، أم بالمعدل نفسه في كل مكان؟

• يمسح خط نصف القطر المساحة أسرع ما يمكن قرب الحضيض حيث القمر أسرع.
• يمسح خط نصف القطر مساحات متساوية في أزمنة متساوية — المعدل نفسه في كل مكان على المدار.
• يمسح خط نصف القطر المساحة أسرع ما يمكن قرب الأوج حيث يتسع المجال للقمر.

2 · التجهيز

1. افتح محاكاة المساحات المتساوية واضغط إعادة الضبط. تقع الكتلة المركزية في منتصف المسرح بمعامل ثقالي GM = 40 m³/s²، وتتتبع أسافين القطاعات المظللة المساحة التي يمسحها شعاع نصف قطر القمر الصناعي.
2. فعّل مسبر الزخم الزاوي النوعي (h) ومسبر الانحراف المركزي (e) على القمر لتُعرض الثابتان حيين.
3. لكل تجربة أدناه، اضبط نصف قطر الحضيض r_p ونصف قطر الأوج r_a، وأطلق القمر من الحضيض بسرعة مماسية خالصة، واضغط تشغيل، ودعه يكمل مدارًا كاملًا على الأقل قبل تسجيل قراءة h المستقرة.

3 · اجمع البيانات

ارسم الزخم الزاوي النوعي المقيس h (المحور y) مقابل نصف قطر الحضيض r_p (المحور x) لمداراتك الثلاثة. ثم، بمراقبة مدار واحد يعمل، ارسم تخطيطًا لتغير سرعة القمر من الحضيض إلى الأوج — أين يكون أسرع وأين أبطأ؟

4 · حلّل

1. لمدار واحد، سجّل قراءة h عند الحضيض وعند الأوج مجددًا. ضمن خطأ القراءة يجب أن يتطابقا. باستخدام h = r·v، اشرح لماذا يجب أن يتحرك القمر الصناعي أبطأ عندما يكون r كبيرًا (الأوج) وأسرع عندما يكون r صغيرًا (الحضيض) ليبقى h ثابتًا.
2. المساحة الممسوحة لكل وحدة زمن هي dA/dt = h/2. بما أن h ثابت، تُمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية. استخدم h المقيس للمدار الأول لحساب dA/dt، وأكد أن h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) يعيد إنتاج القيمة التي قرأتها من المحاكاة.
3. قارن سرعة حضيض القمر الصناعي (v_p = h/r_p) بسرعة الإفلات v_esc التي حسبتها لكل صف. هل v_p أعلى أم أدنى من v_esc، وما الذي يخبرك به ذلك عن بقاء المدار مرتبطًا؟

5 · وسّع

1. يعبر مذنب هالي الشمس في شهور لكنه يستغرق عقودًا للزحف عائدًا من أطراف المجموعة الشمسية. بقانون المساحات المتساوية، اشرح لماذا يقضي المذنب هذا القليل من مداره قرب الشمس وذاك الكثير بعيدًا عنها.
2. لا يحمل الزخم الزاوي النوعي h = r·v أي حد كتلي. لو ضاعفت كتلة القمر الصناعي لكنك أطلقته بنفس الطريقة، هل تتغير h المقيسة؟ هل يتغير زخمه الزاوي الكلي L = m·r·v؟ اشرح الفرق.

الفيزياء خلف هذه التجربة

← عودة إلى التجربة