قانون كبلر الثالث: زمن الدور مقابل نصف القطر

1 · توقّع

يدور قمر حول كتلة مركزية في مدار دائري مستقر. حين تنقله إلى نصف قطر أكبر، كيف يتغير زمن الدورة الكاملة؟

2 · التجهيز

  1. افتح تجربة قانون كبلر. قمر يدور حول الكتلة المركزية؛ مؤقت المدار ومسبر الزمن مثبتان أصلًا.
  2. اضبط نصف قطر مدار القمر الصناعي r، ثم أطلقه جانبيًا بسرعة المدار الدائري المعروضة على بطاقة معادلة v = √(GM/r) ليبقى المدار دائريًا.
  3. دع القمر يكمل لفة كاملة على الأقل واقرأ زمن الدور T من المؤقت متى استقر المدار.

3 · اجمع البيانات

نصف قطر المدار r (m)السرعة الدائرية v (m/s)الزمن المقيس T (s)
2.50
3.50
4.50

ارسم T² (المحور الرأسي) مقابل r³ (المحور الأفقي) لمداراتك الثلاثة. ارسم خط ملاءمة مستقيمًا يمر بالأصل وأوجد ميله.

4 · حلّل

  1. لكل صف احسب T²/r³. هل القيم الثلاث متساوية تقريبًا؟ قارن متوسطها بـ 4π²/GM باستخدام GM = 40 (إذن 4π²/GM ≈ 0.99 s²/m³).
  2. ينبغي أن يمر خطك T² مقابل r³ بالأصل. اشرح لماذا هذا الشكل المستقيم المار بالأصل هو بالضبط ما تتنبأ به T² = (4π²/GM)·r³، وما الذي يمثله الميل.

5 · وسّع

  1. تخضع الكواكب الحقيقية للقانون نفسه: عطارد (مدار صغير) يسبق حول الشمس في 88 يومًا بينما يستغرق نبتون (مدار كبير) 165 سنة. استخدم T²/r³ = constant لشرح هذا الفرق الهائل.
  2. ثابت كبلر هنا 4π²/GM، فيعتمد على الكتلة المركزية لا على القمر. تنبأ بما يحدث لزمن كل مدار لو تضاعفت GM للجسم المركزي.

الفيزياء خلف هذه التجربة

قانون كبلر الثالث

لأي مدار حول كتلة مركزية معطاة، مربع الزمن يتناسب مع مكعب نصف القطر المتوسط: T²/r³ = 4π²/GM. النسبة نفسها لكل المدارات، فقياس زمن مدار واحد عند نصف قطر معلوم يكشف GM.

السرعة المدارية الدائرية

الجسم في مدار دائري نصف قطره r يجب أن يتحرك بسرعة v = √(GM/r): السرعة التي تجعل الجاذبية توفر القوة المركزية المطلوبة بالضبط. الإطلاق بهذه السرعة يبقي المدار دائريًا لا إهليلجيًا.

← عودة إلى التجربة