Relativitat especial: dilatació del temps
Dilatació del temps
Quan alguna cosa es mou a prop de la velocitat de la llum, el temps hi passa més a poc a poc comparat amb algú mirant des de fora. No és un truc del rellotge: el temps mateix s'estira de debò, i els objectes en moviment s'encongeixen al llarg de la seva direcció de moviment exactament pel mateix factor.
La fórmula
Δt = γ · Δt₀ , γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- Δt — temps dilatat (s): l'interval de temps mesurat per un observador veient passar el rellotge
- Δt₀ — temps propi (s): l'interval de temps mesurat per algú movent-se junt amb el rellotge
- v — velocitat relativa (m/s): com de ràpid es mou el rellotge respecte de l'observador
- c — velocitat de la llum (m/s): el límit universal de velocitat, uns 3 × 10⁸ metres per segon
- γ — Factor de Lorentz (none): quant s'estira el temps i s'encongeix la longitud a aquella velocitat
Exemple resolt
Una nau espacial passa volant per la Terra a 0.8 vegades la velocitat de la llum. El batec d'una astronauta pren 3 segons pel seu propi rellotge. Quant pren aquell batec segons un observador a la Terra?
- v = 0.8 c
- Δt₀ = 3 s
- γ = 1 / √(1 − 0.8²) = 5/3
- Δt = γ · Δt₀ = (5/3) · 3 s
Δt = 5 s
Posa't a prova
El batec de l'astronauta pren ara 6 segons pel seu propi rellotge, encara a 0.8c. Quant temps mesura l'observador de la Terra?
- 8 s
- Resposta correcta: 10 s
- 3.6 s
Bé! Gamma encara és cinc terços, o sia 6 s per cinc terços iguala 10 s.
Ara la nau viatja a 0.6 vegades la velocitat de la llum, i el temps propi és 4 segons. Què mesura l'observador de la Terra?
- 3.2 s
- 4.6 s
- Resposta correcta: 5 s
Exacte! A 0.6c, gamma iguala 1.25, o sia 4 s per 1.25 iguala 5 s.
On ho veus
Els satèl·lits GPS porten rellotges que van mesurablement desviats dels rellotges de terra, i el sistema ho corregeix cada dia: a velocitat orbital, el temps mateix va més a poc a poc allà dalt. Els müons de raigs còsmics nascuts a l'alta atmosfera s'haurien de desintegrar molt abans d'arribar a terra, i tot i així hi arriben en ramat: el seu rellotge intern va lent a velocitat gairebé lumínica.
Errors freqüents
El lapsus recurrent és quin temps creix: el temps dilatat mesurat per l'observador de fora és SEMPRE més llarg que el temps propi del rellotge del qui es mou — multipliques per gamma, mai divides. A 0.8c, gamma és 5/3, o sia un batec de 6 segons a la nau pren 10 s a la Terra; a 0.6c, gamma és 1.25, i 4 s de temps propi esdevenen 5 s. El mateix factor encongeix les longituds al llarg del moviment.
Com s'connecta
Això obre la relativitat, la segona columna de la física moderna al costat de les lliçons quàntiques: sense fotons ni esglaons, només la constància de la velocitat de la llum forçant l'espai i el temps a doblegar-se-hi al voltant. El seu producte derivat més cèlebre, E = Δm · c², arriba al final del mòdul amb l'energia de lligam nuclear.