Mechanika

Zametání stejných ploch

Vybarvené výseče od M k dráze zametají za stejné časy stejné plochy.

Zametání stejných ploch — interaktivní simulace Mechanika. Vybarvené výseče od M k dráze zametají za stejné časy stejné plochy. Bezplatná virtuální fyzikální laboratoř v prohlížeči se živými měřeními v SI a řízeným tutoriálem.

Druhý Keplerův zákon

Spojnice centrální hmoty a družice zametá za stejné časy stejné plochy — družice se pohybuje blíž rychleji.

Zachování momentu hybnosti vysvětluje, proč oběžná rychlost u pericentra roste. Zametání stejných ploch je v této předvolbě vidět jako vybarvené výseče na plátně.

• dA/dt = konstanta
• L = mvr sin θ = konstanta

Souhrn zkoumání

Naplánuj otázku dřív, než otevřeš laboratoř

Stručný přehled odpovídá předrenderované stránce: hlavní otázka, konkurenční predikce, role proměnných, řídicí zákony, sestavení, analýza i rozšiřující podněty zůstávají viditelné a v tomto pořadí.

Hlavní otázka

Družice na eliptické dráze je vystřelena bokem v periheliu (nejbližším průchodu). Když vypluje do afelia a zpět, zametá spojnice k centrální hmotě plochu rychleji u perihelia, rychleji u afelia, nebo stejným tempem všude?

Predikce k zvážení

• Spojnice zametá plochu nejrychleji u perihelia, kde se družice hýbe nejrychleji.
• Spojnice zametá za stejné časy stejné plochy — stejné tempo všude na dráze.
• Spojnice zametá plochu nejrychleji u afelia, kde má družice nejvíc místa k pohybu.

Role proměnných

Co nastavuješ:

• Poloměr přísluní r_p (m)
• Poloměr odsluní r_a (m)

Co měříš:

• Úniková rychlost v periheliu v_esc (m/s)
• Specifický moment hybnosti h (m²/s)

Jak zkoumání probíhá

1. Otevři simulaci stejných ploch a stiskni Resetovat. Centrální hmota sedí uprostřed plátna s gravitačním parametrem GM = 40 m³/s² a vybarvené výseče sledují plochu, kterou spojnice družice zametá.
2. Zapni sondu měrného momentu hybnosti (h) a sondu excentricity (e) na družici, aby byly obě invarianty zobrazeny živě.
3. Pro každý pokus níže nastav poloměr perihelia r_p a poloměr afelia r_a, vystřel družici z perihelia čistě boční (tečnou) rychlostí, stiskni Spustit a nech ji dokončit alespoň jeden celý oběh před zapsáním ustáleného odečtu h.

Řídící rovnice

Úniková rychlost — v_esc = √(2GM / r)

Minimální rychlost při poloměru r, která by družici dovolila vymanit se centrální hmotě. Skutečná rychlost družice v periheliu zůstává pod touto hodnotou, takže dráha zůstává vázaná — uzavřená elipsa zametající za stejné časy stejné plochy.

Rychlost po kruhové dráze — v = √(GM / r)

Tečná rychlost, která při poloměru r vytváří dokonalou kružnici. Rychlejší vystřelení v periheliu (jako každý eliptický pokus tady) posílá družici ven do vzdáleného afelia, než ji gravitace stáhne zpět.

Co tisknutelný pracovní list žádá žáky vypočítat

• Pro jednu dráhu poznamenej odečet h v periheliu a znovu v afeliu. V rámci chyby odečtu by se měly shodovat. Použij h = r·v a vysvětli, proč se družice musí hýbat pomaleji, když je r velké (afelium), a rychleji, když je r malé (perihelium), aby h zůstalo konstantní.
• Plocha zametaná za jednotku času je dA/dt = h/2. Protože h je konstantní, zametají se za stejné časy stejné plochy. Použij naměřené h pro první dráhu, spočti dA/dt a potvrď, že h = √(2·GM·r_p·r_a/(r_p + r_a)) reprodukuje hodnotu odečtenou ze simulace.
• Porovnej rychlost družice v periheliu (v_p = h/r_p) s únikovou rychlostí v_esc, kterou jsi spočítal pro každý řádek. Je v_p nad, nebo pod v_esc a co ti to říká o tom, zda dráha zůstává vázaná?

Kde se to objevuje mimo laboratoř

• Halleyova kometa proletí kolem Slunce za měsíce, ale trvá jí desetiletí vracet se z vnější sluneční soustavy. Pomocí zákona stejných ploch vysvětli, proč trvá kometa tak malou část dráhy u Slunce a tak velkou část daleko.
• Měrný moment hybnosti h = r·v nese žádný člen s hmotností. Kdybys zdvojnásobil hmotnost družice, ale vystřelil ji identicky, změnilo by se naměřené h? Změnil by se její celkový moment hybnosti L = m·r·v? Vysvětli rozdíl.

• AP Physics 1 — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• AP Physics C: Mechanics — Unit 6: Energy and Momentum of Rotating Systems
• IB Physics — A.4 Rigid body mechanics
• IB Physics — D.1 Gravitational fields
• General High School Physics — Rotation, gravitation & orbits
• NGSS High School Physics — Gravitational and electrostatic forces

1. Vítej v Zákone stejných ploch
2. Vyber družici
3. Stiskni Spustit
4. Stejné plochy
5. Otevři data
6. Povedlo se!

Otevři interaktivní simulaci, postav scénu, stiskni Spustit a prozkoumávej s živými měřeními a řízeným tutoriálem.

Otevřít interaktivní laboratoř →

Stáhnout pracovní list →

Keplerovy zákony planetárního pohybu